Matematické Fórum

↑ edison:

Díky za odpověď, bohužel je to odpověď asi na něco jiného než se ptám.

Chápu, že člověk nemá čas, tak to zkusím zjednodušit.

Z reálného světa vidíme, že vodič je elektricky neutrální ať ním proud teče nebo neteče. Což zní paradoxně, protože při pohybu elektronů by mělo dojít ke kontrakci délek mezi elektrony. Jak tento paradox vyjasnit?

Ondry napsal(a):

Z reálného světa vidíme, že vodič je elektricky neutrální ať ním proud teče nebo neteče. Což zní paradoxně, protože při pohybu elektronů by mělo dojít ke kontrakci délek mezi elektrony. Jak tento paradox vyjasnit?

Jenže to tak není. Vzdálenost mezi elektrony se nezmění když se začnou pohybovat.

Většina "paradoxů" STR pochází z toho, že se uvažuje jen samotná kontrakce délek či dilatace času. Když nevím kudy kam, je nejjednodušší sáhnout po kompletní Lorentzově transformaci, a vše je hned jasné.


První věc je, že k efektu kontrakce délek nedochází tím, že se něco pohybuje, ale že se pohybuje vztažná soustava. Ono to vypadá, že je to to samé, ale není to tak úplně pravda.


Když máme ty elektrony ve vodiči ... můžeme jejich pohyb popsat jednoduchým způsobem:

[mathjax]x_0(t) = 0 + vt[/mathjax]

[mathjax]x_1(t) = D + vt[/mathjax]

[mathjax]x_2(t) = 2D + vt[/mathjax]

...

[mathjax]x_i(t) = i*D + vt[/mathjax]


Na první pohled je celkem zjevné, že vzdálenost mezi třeba 1. a 2. elektronem, tj. x2 - x1, na rychlosti v vůbec nezávisí.

Pokud ti matematika přijde příliš odtažitá od reality, tak uvažujme jediný elektron obíhající po kruhové dráze. Ano, u jednoho elektronu je představa "vzdálenosti mezi elektrony" trochu divná, ale je to prostě délka té kružnice, po které obíhá. Přece se tato vzdálenost nemůže zmenšit jen proto, že se dá elektron do pohybu? Kružnice je pořád stejná - pořád na to koukáme z naší soustavy... Když budou elektrony 2, tak vzdálenost mezi nimi se za pohybu taky nemůže zmenšit ... dokud na to budeme koukat z  naší souřadné soustavy, tak se žádná kontrakce nekoná...a je celkem jedno, jestli se ty elektrony pohybují po přímce nebo po kružnici.


Dále viz další příspěvek. Ale musím si to trochu promyslet, abych nenapsal nějakou hloupost.

Ondry napsal(a):

ty samotný rakety se z mýho stojícího úhlu pohledu budou jevit smrknutý, ale mezera mezi nimi zůstane stejná

Pokud jde o ty rakety, možná se k tomu ještě vrátím. A možná to ani nebude potřeba. Každopádně to, jestli se raketa smrskne nebo né závisí na detailech její "konstrukce". Ona totiž taková raketa, jakou si představujeme my, tedy že vzadu jí zažehneme motor a celá raketa se dá najednou do pohybu - takovou raketu teorie relativity nepřipouští.

Buď tedy máme raketu, co "drží pohromadě" - když na ní zezadu zatlačíme, tak předek se dá do pohybu o něco později než ten zadek.

No a nebo raketa pohromadě nedrží, a je to jen oblak částic, které spolu nijak neinteragují - a když zatlačíme vzadu, s předkem se nestane nic. Ale můžeme (nějakou silou) působit na zadní částice i na přední částice a uvést tak celý ten chumáč částic do pohybu.

A každá z těchto variant se chová jinak.

A než se k tomu dostaneme, vraťme se nachvíli zase do "nečárkované soustavy", kde jsme zapli ten proud ... a všechny elektrony se NAJEDNOU dají do pohybu.

To je totiž celý trik - to NAJEDNOU bude najednou jen v jedné jediné soustavě - té naší "nečárkované". V soustavě v pohybu už to najednou nebude, díky tomu, jak se nám transformuje čas...

[mathjax]t' = \gamma(t-vx)[/mathjax]

čas v "čárkované soustavě" závisí na x-ové souřadnici v té nečárkované. Takže čím dál bude na ose x (původní soustavy) elektron ve chvíli kdy se daly do pohybu, tím později se dá do pohybu v té "čárkované soustavě".

Takže v čárkované soustavě se elektrony nerozeběhnou najednou, rozbíhají se postupně, jeden po druhém ... a tím vzniknou ty větší mezery mezi nimi.


Tady na tu závislost "čárkovaného" času na "nečárkované" poloze se často zapomíná ... a je to příčinou většiny těch paradoxů spojených s teorií relativity. Je nutné si uvědomit, že ty elektrony nejsou nijak kauzálně propojeny, když se dají najednou do pohybu není to proto, že by na sebe nějak tlačili či co - ony o sobě vůbec nemohou vědět. Každý elektron se dá do pohybu nezávisle na těch ostatních. Proto je taky možné, že z jiné soustavy se dají některé elektrony do pohybu dříve, jiné později.

Já bych tak nepitval ten okamžik zapnutí:-)

Předpokládejme, že jsme přišli k vakuové komoře, skrz ní vede supravodivý drát v měděné trubce o vnějším průměru 5 cm a tím drátem už od včera prochází proud 1 kA. Na opačném konci laboratoře je druhá, stejná komora se stejným drátem, ale bez proudu. Nyní do obou komor začneme po jednom posílat elektrony a to tak, že vždy 0,1 m od osy drátu jeden elektron uvolníme zanedbatelnou rychlostí. Předpokládejme, že stěna komory je nejblíže 2 m od zdroje elektronů.

Nějak to tu usnulo, tak zkusím probuzení:
Třeba tady si s tímto "paradoxem" starosti nedělá a je to normální součást výkladu magnetismu v soustavě vodič-částice:
Vysvětlení vzniku magnetického pole v okolí vodiče s proudem
:-)

Nejprve citát z původního dotazu:

Ondry napsal(a):

Ze zkušenosti sice víme, že vodič, kterým elektrický proud prochází nebo neprochází je vždy elektricky neutrální, proto na stacionární elektrický náboj nepůsobí žádná síla.
Jenže pokud přimícháme kontrakci délek pohybujících se elektronů, působí to paradoxně. Proud neteče, vodič je elektricky neutrální, obvod se sepne, elektrony se začnou pohybovat, mělo by dojít ke kontrakci délek mezi elektrony, jenže to by pak vodič nebyl elektricky neutrální.

Základní problém je, že ta "zkušenost" je nepravdivá:-)
(nejen)Každý majitel kočky ví, že nabité a nenabité předměty se přitahují. Je tedy jasné, že elektron je přitahován k neutrálnímu vodiči. Když prochází proud, začnou se ale dít věci:
Pohyb částic v magnetickém poli
(kapitola 6.4)

Pro jistotu přidám:
Ampérovo pravidlo pravé ruky
(kdyby byl zájem si to správně namalovat)

edison napsal(a):

(nejen)Každý majitel kočky ví, že nabité a nenabité předměty se přitahují. Je tedy jasné, že elektron je přitahován k neutrálnímu vodiči.

Tohle (elektrostatická indukce) je ale jev, který s předloženým problémem nesouvisí ... a můžeme se ho celkem snadno zbavit tím, že testovací částici uvažujeme s velmi malým nábojem (nejlépe nekonečně malým).

To je nakonec správná definice elektrické intenzity (či magnetické indukce) že je to síla působící na "zkušební náboj", který je (v limitě) nekonečně malý... tedy

[mathjax]E = \lim_{q\to0}\frac{F}{q}[/mathjax]

případně

[mathjax]B = \lim_{q\to0}\frac{F}{vq}[/mathjax]

Tak ono kdyby se ty vzdálenosti mezi elektronama nekontrahovaly, tak by zase moc nefungovalo vysvětlení odpuzování vodičů s protisměrnými proudy.

Takže když to začneme pitvat, musíme se začít šťourat ve více detailech, např. že ty STR jevy jsou dány relativní rychlostí vůči pozorovateli a ta závisí na úhlu pohledu. Kotrakce tak nastává v různých částech proudové myčky různě a tak nějak očekávám, že se to vzájemně vykompenzuje. V minimalistickém případě, kdy bude smyčka tvořená zkratovanou dvojlinkou je to na první pohled jasné a předpokládám, že pro třeba kruhovou smyčku to po troše integrování vyjde stejně.

Ale rychlosti vůči pozorovateli.

Dívám-li se za/proti pohybujícímu se objektu, tak se ode mě vzdaluje/přibližuje onou rychlostí. Dívám-li se kolmo na vektor rychlosti, vzdálenost de mě se nemění, tedy rychlost vůči mě právě prochází nulou. Můžu se mýlit, ale vždycky jsem si to takhle nějak představoval.

edison napsal(a):

Ale rychlosti vůči pozorovateli.

Dívám-li se za/proti pohybujícímu se objektu, tak se ode mě vzdaluje/přibližuje onou rychlostí. Dívám-li se kolmo na vektor rychlosti, vzdálenost de mě se nemění, tedy rychlost vůči mě právě prochází nulou. Můžu se mýlit, ale vždycky jsem si to takhle nějak představoval.

Ke kontrakci délek dochází (pokud k ní tedy vůbec dochází) ve směru pohybu, a to, kde v soustavě stojíš ty, na to nemá žádný vliv. V STR neexistuje nic jako "pozorovatel a jeho poloha". Když se v STR mluví o pozorovateli, myslí se tím celá ta soustava, nekonečně velká, s hodinami v každém bodě.

MichalAld napsal(a):

No a s tou raketou je to úplně stejné. Pokud se v "nečárkované" soustavě začne pohybovat příď rakety ve stejný okamžik jako záď, potom k žádné kontrakci délky rakety nedojde ... potom pohyb přídě a zádě nemůže být kauzálně spojený ... a raketa je jen oblak neinteragujících částic. A potom tedy není divu, že  z jiné soustavy bude raketa delší ... když se dá příď do pohybu dříve než záď.

Naproti tomu, když se v původní soustavě (nečárkované) příď poslušne zpozdí za pohyben zádě (ideálně o L/c), potom samozřejmě ke kontrakci dojde (aby né, když se záď začne pohybovat dříve než příď). A potom bude mít v pohybující se soustavě raketa stejnou velikost jako měla v klidové za klidu.


Možná už se do toho zbytečně zamotávám ... ale jde prostě o to, že NAJEDNOU se ty elektrony mohou rozeběhnout jen v jedné jediné soustavě. Ve všech ostatních už to najednou nebude ... a to nám způsobí tu změnu jejich vzdálenosti z jiných soustav.

Představ si raketu s motorem vpředu, který raketu táhne.
Konečná rychlost šíření vzruchu v raketě, případně elasticita s relativistickou kontrakcí délek vůbec nesouvisí, dokonce předpokládá dokonale tuhou raketu, pokud je raketa elastická, je třeba tento efekt započíst zvlášť.
Zrychlující raketa ovšem zrychluje z pohledu vnějšího pozorovatele tak, že špice má menší souřadnicové zrychlení, než zadek (a to i v případě, že je motor vpředu).  Detailněji viz "Rindler coordinates".

↑ Tomáš Vencl:

Neřešme ale souřadný systém spojený s tou raketou (Rindler), řešme jak to vypadá z normální souřadné soustavy.

Podle mě (nejen podle mě) dokonale tuhá tělesa v rámci STR prostě nemohou existovat. 

Ty říkáš, že elasticita s kontrakcí délek nesouvisí, ale já bych řekl, že to nějak souviset musí. Akorát jsem nikdy neviděl žádný relativisticky korektní model nějakého tělesa. Leda tak dvou elektronů, co se navzájem odpuzují ... tam si to trochu představit dokážu.

Ano, běžné elastické vlny se šíří mnohem pomaleji než c, ale v rámci STR prostě nemí možné, aby se ty vlny šířily rychleji než c (jako třeba nekonečně rychle).


Pokud se dá předek rakety do pohybu ve stejný okamžik jako zadek - tak ty dvě události prostě nemohou být kauzálně spojeny (je mezi nimi prostoru-podobný interval). Z čehož nutně plyne, že v jiné soustavě se může předek rakety začít pohybovat dříve než zadek - a v jiné zase naopak. To je v přímém rozporu s představou tuhého tělesa.

STR prostě nepřipouští, aby se oba konce tělesa pohybovaly stejně v každé souřadné soustavě. A to se vůbec nemusíme zabývat rychlostmi blízkými c, může jít i o obyčejné rychlosti, když bude těleso dostatečně dlouhé.