Matematické Fórum

weissgrlu

Milí přátelé,

obracím se na vás s následujícím problémem. Mým úkolem je vypočítal integrál $\lim_{n\to \infty}\int_{1}^{\infty}nxe^{-nx^2} dx$ . Chtěl jsem použít Lebesgeouvu větu a najít nějaký horní odhad pomocí výpočtu maxima. Maximum mi vyšlo pro $n=\frac{1}{x^2}$ . Jenže po dosazení tohoto $n$ vychází funkce, která na tomto intervalu diverguje (což mi pro Lebesguea nepomůže). Ptám se tedy, jestli je vůbec moudré jít na to přes Lebesgueovu větu, případně v čem tento postup selhává.

Díky za pomoc.

laszky · 13. 12. 2020 17:50

↑ weissgrlu:

Ahoj, vzdyt ten integral jde presne spocitat, ne? Substituce [mathjax]t=x^2[/mathjax].

weissgrlu · 13. 12. 2020 18:11

Ano, výpočet je jednoduchý. Ale ten příklad je myšlen spíše jako procvičení Lebesgueovi věty a Leviho věty. Tedy na prohození limity a integrálu. S tím si právě nevím rady (s ověřením předpokladů těch vět).

laszky · 13. 12. 2020 18:19 — Editoval laszky (13. 12. 2020 18:20)

↑ weissgrlu:

Tak pokud je [mathjax]f_n(x)=nx\mathrm{e}^{-nx^2}[/mathjax], potom [mathjax]f_n(x)\leq f_{n-1}(x)\leq\cdots\leq f_1(x)[/mathjax] na intervalu [mathjax](1,\infty)[/mathjax], ne?

weissgrlu · 13. 12. 2020 18:22

A jo, už to vidím. Díky :)

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2020 16:31 — Editoval weissgrlu (13. 12. 2020 16:55)

Záměna limity a integrálu

#2 13. 12. 2020 17:50

Re: Záměna limity a integrálu

#3 13. 12. 2020 18:11

Re: Záměna limity a integrálu

#4 13. 12. 2020 18:19 — Editoval laszky (13. 12. 2020 18:20)

Re: Záměna limity a integrálu

#5 13. 12. 2020 18:22

Re: Záměna limity a integrálu

Zápatí