Matematické Fórum

2M70 · 16. 12. 2020 15:06

Mám spočítat plošný integrál 2.druhu

Kde f = (z, x, y)

a S je část plochy x – y + z = 1, x ≥ 0, y ≤ 0, z ≥ 0

a S s vektorem ve směru kladné osy y svírá ostrý úhel.

Tolik zadání.

Napadá mě k tomu akorát

0 < x < 1,

-1 < y < x – 1

0 < z < 1 – x + y

Normálový vektor plochy plyne z obecné rovnice roviny

x – y + z = 1
tedy
(1, -1, 1)

a

(z, x, y): (1 – x + y, x, y)

(1 – x + y, x, y). (1, -1, 1) dx dy =

$\int_{}^{}\int_{}^{}(1 - x + y, x, y). (1, -1, 1) dx dy$

(1 – x + y – x + y) = 1 – 2x + 2y

1 – 2x + 2y dy dx = [y – 2xy + y2] dx

$\int_{0}^{1}\int_{-1}^{x-1}(1 - 2x + 2y) dydx=$

$\int_{0}^{1} [y - 2xy + y^{2}]^{x-1}_{-1} dx=$

$\int_{0}^{1} x - 1 + 1 - 2x. (x - 1 + 1) + (x^{2} - 2x + 1 - 1) dx=$

$\int_{0}^{1}(x - 2x^{2} + x^{2} - 2x) dx = \int_{0}^{1} - (x^{2} - x)dx = - \int_{0}^{1} (x^{2} - x) dx$

$-[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}]^{1}_{0}=-[\frac{1}{3}-\frac{1}{2}]=-(-\frac{1}{6})=\frac{1}{6}$

Což ale, předpokládám, není dobře, byť by to byly "jen" chyby ve znaménkách.
Asi bude chybná i parametrizace.

Budu rád za cokoli, co pomůže posunout se k cíli.

2M70 · 17. 12. 2020 08:12

Tak tam mám minimálně 2 chyby:

U

-1 < y < x – 1

jsou blbě meze, a

0 < z < 1 – x + y

je taky blbost - integruji jen přes dx, dy

Dokáže někdo dál poradit?

Brano · 17. 12. 2020 11:27

zakladny problem je, ze nemozes pouzit lubovolny normalovy vektor, ale "ten spravny" t.j. taky co zodpoveda parametrizacii
aby nedoslo k omylu tak pouzijem nove pismenka ako parametre:

$x=s;\ y=t;\ z=1-s+t;\text{ pre }s\in[0,1],\ t\in[s-1,0]$
z derivacie podla $s$ mame $(1,0,-1)$ a z derivacie podla $t$ mame $(0,1,1)$ - ich vektorovy sucin je $(1,-1,1)$
takze pod integralom je $(1-s+t,s,t)\cdot (1,-1,1) dsdt$ co je to co mas ty, ale vyslo to preto, ze koeficient pri $z$ bol $1$ , keby to tak nebolo tak by si to musel preskalovat.

2M70 · 17. 12. 2020 13:59

↑ Brano:

Čili mám uvažovat meze

0 < s < 1,
s-1 < t < 0

?

Brano · 18. 12. 2020 11:47

ano; s hranicami si mal nejaky problem? ja som to chapal tak, ze si tam mal preklep co si si sam potom vsimol

2M70 · 18. 12. 2020 15:43

↑ Brano:

Díky za potvrzení!

Hranice jsem blbě odhadl, předpokládal jsem -1 < y < x-1, tedy blbost.

2M70 · 19. 12. 2020 20:49

Tak jsem to propočítal a došel jsem k jinému výsledku:

$\int_{0}^{1}\int_{s-1}^{0}(1-2s+2t)dtds=$

$\int_{0}^{1}[t-2st+2\frac{t^{2}}{2}]^{0}_{s-1} ds=$

$\int_{0}^{1}([t]^{0}_{s-1}-2s[t]^{0}_{s-1}+[t^{2}]^{0}_{s-1})ds=$

$\int_{0}^{1}(-s+1-2s(-s+1)+(-(s^{2}-2s+1))ds=$

$\int_{0}^{1}(-s+1+2s^2-2s-s^{2}+2s-1)ds=$

$\int_{0}^{1}(-s+s^2)ds=$

$-[\frac{s^{2}}{2}]^{1}_{0}+[\frac{s^{3}}{3}]^{1}_{0}=$

$-[\frac{1}{2}]+[\frac{1}{3}]=\frac{-3+2}{6}=-\frac{1}{6}$

Nevím tedy, zda je tenhle výsledek správný, nebo jsem se někde spletl ve znaménku, zda je správně plus nebo mínus 1/6.

Může někdo potvrdit / vyvrátit?

Díky!