Matematické Fórum

Podle zadání se teplota mění.

Jde použít Gay-Lussacův zákon pro izobarický děj?

Doufám, že se to počítá takto:

Element práce je

[mathjax]\delta A = pdV[/mathjax]

protože tlak je konstantní, tak platí i

[mathjax]\Delta A = p \Delta V[/mathjax]


Změna vnitřní energie by měla být

[mathjax]\Delta U = C_V \Delta T[/mathjax]

kde to Cv je tepelná kapacita při konstantním objemu. Já ovšem nevím, co je to to Cpm. Pokud je to tepelná kapacita za konstantního tlaku, tak se od toho bude muset ještě odečíst ta vykonaná práce.

A přijaté teplo se spočítá dle 1. TD zákona - ze změny vnitřní energie a vykonané práce. Zase - pokud je ta Cpm tepelná kapacita za konstantního tlaku, tak se to může počítat rovnou

[mathjax]\Delta Q = C_p \Delta T[/mathjax]

Já nevím. Pokud víme, že je to mol ideálního plynu, můžeme spočítat i ty tlaky, vlastně, protože

[mathjax]pV = nRT[/mathjax]

tedy

[mathjax]p = nRT/V[/mathjax]

Takže to s největší pravděpodobností izobarický děj nebude. A cesta určitě vede přes to složit to ze svou dějů, otázkou ovšem je z jakých.

Protože podle mě musíme využít toho, že známe tepelnou kapacitu při konstantním tlaku, takže jeden z těch dějů by měl být izobarický. Při něm zvedneme tu teplotu z 25°C na 100°C, a spočítáme kolik na to padlo tepla. Akorát úplně nevím, jak zjistit, jaká část tepla se změnila na vnitřní energii, a jaká na práci.

Druhý krok by mohl být izotermický děj - tam už se vnitřní energie nemění a všechno teplo se změní na práci.

Ale nějak se nemůžu zbavit pocitu, že pro tu první část budeme potřebovat znát i tu tepelnou kapacitu při konstantním objemu - tedy že budeme potřebovat znát tu konstantu [mathjax]\kappa[/mathjax] jež se vyskytuje při adiabatickém ději. A tu zadanou nemáme...(asi není problém si ji najít, otázka je, jestli to můžeme dělat).

Pokud bychom ji tedy vzali z tabulek, spočteme si [mathjax]C_{Vm}[/mathjax] - tedy tepelnou kapacitu při konstantním objemu, a potom (pro izobarický děj)

[mathjax]\Delta Q = C_{pm}\Delta T[/mathjax]

[mathjax]\Delta A = C_{Vm}\Delta T[/mathjax]


Ale když už budeme znát Cvm, tak můžeme udělat i to co navrhuješ ty, tedy zahřát to izochoricky, potom

[mathjax]\Delta Q = C_{Vm}\Delta T[/mathjax]

[mathjax]\Delta A = 0[/mathjax]

což je ještě jednodušší. A zbytek už je stejný. Jen mě pořád mate, že máme zadanou Cpm, a né Cvm,

↑ Mirek2:
Asi je to správně, ještě to zkusím spočítat tím druhým způsobem, jeslti to vydje stejně.

Tohle jsem neznal (Cp - Cv = R), i když je to asi celkem známé.

↑ Jaja360:

Ahoj,

zkus dát tento příklad do sekce Fyzika, tam by se na to mohlo podívat víc očí.

Ještě během odpoledne napíšu, proč si myslím, že to není ani izobarický ani adiabatický děj.
Aha - už to napsal ↑ MichalAld: níže.

Mě by spíš zajímala jiná věc - jestli se dá nějak jednoduše ukázat, že vykonaná práce je vždy stejná, bez ohledu na to, jakým způsobem se do cílového stavu dostaneme.

Že bude vnitřní energie stejná, to je jasné - vnitřní energie je stavová veličina, ta na cestě nezávisí. Ale u práce, ani u tepla to podle mě nemusí být nutně pravda...

A teď koukám, že tys to vlastně psal, že to stejné nevychází.. tak to ani nemusím dokazovat.

Ona to vlastně záhada není, záhada by byla kdyby to stejně vycházelo. Takto je to jasné ... a úloha má tím pádem nekonečné množství řešení.

Prostě teplo, ani práce nejsou stavové veličiny (v rámci vyšší matematiky to znamená, že to nejsou úplné diferenciály) a tudíž jejich hodnoty obecně závisí na integrační cestě. Vnitřní energie (a třeba entropie) naproti tomu úplné integrály jsou - a jejich hodnota na integrační cestě nezávisí - závisí jen na koncových bodech.

No asi šlo, místo tepla můžeme doddávat entropii ... ale to stejně neřeší náš problém, pro každý způsob, jak plyn dostaneme do cílového stavu, bude vykonaná práce jiná. Entropii dodáme vždy stejnou - ale nebude to stejné množství tepla ... když dodáme entropii při vyšší teplotě, bude to více tepla, než když dodáme entropii při nižší teplotě.

V tomhle případě by bylo asi lepší to složit z izotermického a adiabatického děje - adiabatický děj zachovává entropii. Takže celý díl entropie předáme při izotermickém ději - a pak to adiabaticky stlačíme/roztáhneme abychom se dostali kam potřebujeme.

A taky to můžeme udělat mnoha způsoby - nejprve izotermický pak adiabatický, nebo naopak, nebo to střídat...

Pokud zůstaneme u těch dvou prvních variant - tj kombinace jednoho izotermického a jednoho adiabatického děje, tak je jasné, že když předaná entropie bude v obou případech stejná (musí být, je to stavová veličina) tak teplo nebude - protože jednou bude ten izotermický děj probíhat při nízké teplotě, podruhé při vysoké.

Což když o tom tak přemýšlím, tak je to vlastně Carnotův cyklus. A když si namísto p-V diagramu nakreslíme T-S diagram, tak to vše vypadá mnohem jednodušeji, protože jsou tam jen vodorovné a svislé čáry. Buď jdeme nejdřív vodorovně, nebo nejdřív svisle. Případně můžeme taky po schodech. Při vodorovném "pohybu" se předává entropie, při svislém né (vodorovný děj je izotermický, svislý adiabatický - také se říká izoentropický). Změna entropie je vždy stejná, ale dodané teplo né, protože (při izotermickém ději) je [mathjax]\Delta S = \Delta Q /T[/mathjax].

A práce odpovídá dodanému teplu mínus změna vnitřní energie - a změna vnitřní energie je také vždy stejná, nezávislá na cestě.

Změna vnitřní energie je pro ideální plyn jednoduchá,

[mathjax]\Delta U = C_{Vm}\Delta T[/mathjax]

↑ MichalAld:
Příklad je vyřešen, díky za spolupráci.

Doplním, že vnitřní energie ideálního plynu závisí jen na teplotě, nezávisí na způsobu, jakým se soustava do určitého stavu dostala.

Zadání rozumím tak, že plyn se postupně ohřívá z nižší teploty na vyšší (v průběhu děje nedojde k ochlazení), podobně objem se postupně zvyšuje.

Když vypočítám práci postupem dějů (izotermický + izochorický) a postupem dějů (izobarický + izotermický) a jejich průměr, vychází téměř stejná hodnota jako při polytropickém ději, což není překvapením.

↑ Jaja360:
Ahoj,

konečně se zdá, že jsme příklad spojenými silami vyřešili - nejspíš to půjde ještě nějak přes entropii. Jestli to bylo poněkud nepřehledné, rád sestavím celé řešení do jednoho "okna". Díky za zajímavý příklad.

http://old.vscht.cz/fch/cz/pomucky/FCH4Bc.view.pdf