Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Ahoj,
řeším jeden příklad. Myslím si, že mi s tím asi moc nepomůžete, ale i tak to sem hodím.
Odkaz.
Snažila jsem se to spočítat a si určitě tam mám chybu, ale nenapadá mě, jak to udělat lépe.
[mathjax]||f||\le 1 \Rightarrow (\int_{0}^{1}|f(t)|^{3})^{\frac{1}{3}}[/mathjax]
[mathjax]||\Phi _{k}(f)||^{3}=\int_{0}^{1}|\int_{0}^{1}x^{k}*f(x^{6})dx|^{3}dt\le \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}|x^{k}*f(x^{6})|dx)^{3}dt[/mathjax] ,
pak jsem na vnitřek použila Holderovu nerovnost a upravila do tvaru
[mathjax]\le \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}|x^{k}|^{\frac{3}{2}}dx)^{2}*(\int_{0}^{1}|f(x^{6})|^{3}dx) dt\le \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}|x^{k}|^{\frac{3}{2}}dx)^{2}*||f(x)||^{3} dt[/mathjax]
s tím, že asi poslední nerovnost nemusí být v pořádku.
Offline
↑ Pomeranc:
Ahoj, normalne pouzij substituci [mathjax]t=x^6[/mathjax], a pak Holdera. Tim ziskas podminku na [mathjax]k[/mathjax], normu (zavisejici na [mathjax]k[/mathjax]), i reprezentanta z [mathjax]L^{3/2}[/mathjax].
Offline
↑ laszky:
Děkuji :)
Tak jsem to vyzkoušela a vyšlo mi:
[mathjax]||\Phi _{k}(f)||^{3}=\int_{0}^{1}|\int_{0}^{1}x^{k}*f(x^{6})dx|^{3}dt\le \frac{1}{6}\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}|y^{\frac{k-5}{6}}*f(y)|dy)^{3}dt[/mathjax]
Pak jsem použila Holdera a upravila
[mathjax]\le\frac{1}{6} \int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}|y^{\frac{k-5}{6}}|^{\frac{3}{2}}dx)^{2}*(\int_{0}^{1}|f(y)|^{3}dy) dt\le \frac{1}{6}\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}|y^{\frac{k-5}{6}}|^{\frac{3}{2}}dy)^{2}*||f(x)||^{3} dt=\frac{1}{6}||f(x)||^{3}\int_{0}^{1}(\int_{0}^{1}y^{\frac{k-5}{4}}dy)^{2}dt[/mathjax]
Když jsem dopočítala ty integrály, tak mi vyšlo
[mathjax]||\Phi _{k}(f)||\le \frac{1}{3*(k-1)^{2}}[/mathjax] .
Na normující funkci jsem zatím nepřišla, ale je to správně?
Jinak mi vyšlo, že to má smysl pro k je větší než -1.
U reprezentanta mi vyšlo: [mathjax]\int_{0}^{1}x^{k}*f(x^{6}) dx =\int_{0}^{1}\frac{1}{6}*y^{\frac{k-5}{6}}*f(y) dy[/mathjax]
Tedy reprezentant je [mathjax]\frac{1}{6}*x^{\frac{k-5}{6}}[/mathjax] ?
Offline
↑ Pomeranc:
Ahoj, reprezentant je ok,
ale [mathjax]\Phi_k(f)[/mathjax] je cislo, nikoli funkce. Nema se podruhe integrovat:
[mathjax]|\Phi_k(f)| = | \int_0^1x^kf(x^6)\,\mathrm{d}x | = |\int_0^1 \frac{1}{6}t^{\frac{k-5}{6}}f(t)\,\mathrm{d}t| \leq \left(\int_0^1\left(\frac{1}{6}t^{\frac{k-5}{6}}\right)^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{d}t\right)^{\frac{2}{3}}\left(\int_0^1|f(t)|^3\,\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{6} \left(\frac{4}{k-1}\right)^{\frac{2}{3}}\cdot \|f\|_{L^3(0,1)} [/mathjax]
Offline
↑ Pomeranc:
Ahoj, v Holderove nerovnosti [mathjax]\int_0^1|gf|\,\mathrm{d}t\leq \|g\|_{L^p}\|f\|_{L^q}[/mathjax] nastane rovnost, pokud je [mathjax]\frac{|g|^p}{\|g\|_p^p}=\frac{|f|^q}{\|f\|_q^q}[/mathjax], k tomu postaci kdyz bude [mathjax]|f|^q=c\cdot|g|^p[/mathjax].
Offline
↑ Pomeranc:
Mne vyslo [mathjax]f(t) = C \cdot \bigr(g(t)\bigr)^{\frac{p}{q}} = \left(t^{\frac{k-5}{6}}\right)^{\frac{p}{q}} = \left(t^{\frac{k-5}{6}}\right)^{\frac{3/2}{3}} = t^{\frac{k-5}{12}}.[/mathjax]
Offline
↑ laszky:
Tak to ti to vyšlo až moc pěkně.
Já jsem to počítala takto:
[mathjax](\frac{1}{6}y^{\frac{k-5}{6}})^{\frac{3}{2}}=c*f^{3}[/mathjax]
[mathjax]f=(\frac{1}{c})^{\frac{1}{3}}(\frac{1}{6}y^{\frac{k-5}{6}})^{\frac{1}{2}}[/mathjax]
Musí platit [mathjax]||f||=1[/mathjax] a dopočítáme c.
[mathjax]f=(\frac{k-1}{2*6^{\frac{3}{2}}})^{\frac{1}{3}}(\frac{1}{6}y^{\frac{k-5}{6}})^{\frac{1}{2}}[/mathjax]
Offline