Matematické Fórum

Adela2001 · 29. 12. 2020 17:35

Ahoj, potřebovala bych poradit s danou úlohou:
Určete tečny elipsy rovnoběžné s danou přímkou
E: 8×(x+1)^2+18×(y+10)^2=144
p: -24x+36y=13
Rovnici elipsy jsem si upravila na:
(x+1)^2/18+(y+10)^2/8=1 - rovnice tečny elipsy
Dále jsem chtěla udělat smerovy vektor primky p a dosadit do rovnice...To mi ovšem ale vůbec nevychází.
Věděl by někdo? Děkuji..

zdenek1 · 29. 12. 2020 17:43

↑ Adela2001:
Rovnice rovnoběžné přímky bude mít rovnici $y=\frac23x+c$
Tento výrez dosaď do původní rovnice elipsy a otevři závorky.
Dostaneš kvadratickou rovnici s parametrem $c$ .
Aby přímka byla tečna, musí být diskriminant té kvadratické rovnice nula.

Adela2001 · 29. 12. 2020 17:59

↑ zdenek1:
Vyšlo mi:
16x^2+256x+18c^2+24cx+360c+1664=0
Nevím jak s parametrem c upravit na tvar diskriminantu

marnes · 29. 12. 2020 18:36

↑ Adela2001:

Nejdříve bych vše vydělil dvěma, ať nejsou tak velká čísla.
Pak vypsal
a=číslo u kvadratického členu
b= číslo (a) u lineárního členu
c=zbytek
a dosadil dle už zmíněného do výpočtu D

Adela2001 · 29. 12. 2020 18:38

↑ marnes:
Dalo by se to prosím více upřesnit...pořád nevím jak na to

zdenek1 · 29. 12. 2020 19:20

↑ Adela2001:
Jak radil Marnes - vydělíš
$4(x+1)^2+9(y+10)^2=72$ a ještě strčíš devítku do závorky
$4(x+1)^2+(3y+30)^2=72$

Rovnici tečny $y=\frac23x+c$ si napíšeš jako $3y=2x+m$ (*), kde jsi přejmnoval $3c=m$ a dosadíš do rovnice elipsy
$4(x+1)^2+(2x+m+30)^2=72$

otevřeš závorky a upravíš, mělo by ti vyjít
$8x^2+4(32+m)x+(m^2+60m+832)=0$

Diskriminant
$16(32+m)^2-32(m^2+60m+832)=0$ vydělíš 16ti, upravíš, vyjde
$m^2+56m+640=0$
a vypočítáš $m$

Hodnoty $m$ dosadíš do (*) a máš hledané tečny.

Adela2001

↑ zdenek1:
Takže výsledek bude:
T1: 2x-3y+40=0
T2: 2x-3y-16=0

zdenek1 · 29. 12. 2020 20:58

↑ Adela2001:
Ano

Adela2001 · 31. 12. 2020 11:16

↑ zdenek1: ↑ marnes:
Nakonec mi tedy vyšlo:
t1: 2x-3y-40=0
t2: 2x-3y-16=0
Nejsem si jistá jestli mám znaménka správně, ale takhle mi to logicky vyšlo. Je to správně?

Cheop · 31. 12. 2020 11:53

↑ Adela2001:
Ano je to dobře.

Ferdish · 31. 12. 2020 12:02

↑ Adela2001:
Áno, teraz sú rovnice oboch dotyčníc správne. V predošlom zápise si mala u T1 nesprávne znamienko u posledného koeficientu (+40 namiesto -40).
Kolega ↑ zdenek1: zrejme v rýchlosti vnímal len samotnú hodnotu 40 a preto ti potvrdil že tvoje pôvodné riešenie je správne, hoci to nebola pravda.

Adela2001 · 31. 12. 2020 12:08

↑ Ferdish:
Super, díky!

Matematické Fórum

#1 29. 12. 2020 17:35

Tečny elipsy

#2 29. 12. 2020 17:43

Re: Tečny elipsy

#3 29. 12. 2020 17:59

Re: Tečny elipsy

#4 29. 12. 2020 18:36

Re: Tečny elipsy

#5 29. 12. 2020 18:38

Re: Tečny elipsy

#6 29. 12. 2020 19:20

Re: Tečny elipsy

#7 29. 12. 2020 19:32 — Editoval Adela2001 (29. 12. 2020 19:35)

Re: Tečny elipsy

#8 29. 12. 2020 20:58

Re: Tečny elipsy

#9 31. 12. 2020 11:16

Re: Tečny elipsy

#10 31. 12. 2020 11:53

Re: Tečny elipsy

#11 31. 12. 2020 12:02

Re: Tečny elipsy

#12 31. 12. 2020 12:08

Re: Tečny elipsy

Zápatí