Matematické Fórum

Ahoj,

řeším jeden příklad Odkaz. Nevím, jestli jsem to počítala dobře
a navíc bych řekla, že jsou možné výsledky ve sporu s teorií.

Norma: Tu mám určitě ok.
Kompaktnost:  T je lineární. Vezmeme posloupnost  [mathjax]T_{m}(x_{n})=(a_{1}*x_{1},a_{2}*x_{2},...,a_{m}x_{m},0,....)[/mathjax] .Tm je lineární navíc dim(Range(Tm))<nekonečno,
a tedy Tm jsou kompaktní operátory.
[mathjax]||T(x_{n})-T_{m}(x_{n})||=\sum_{i=m+1}^{\infty }|a_{i}x_{i}|\le max|a_{i}|*||x_{n}||[/mathjax].
Chceme, aby [mathjax]||T(x_{n})-T_{m}(x_{n})|| \ konvergovalo \ k\  0[/mathjax].  Tedy [mathjax]max |a_{i}| \ pro \ i=m+1\ldots \infty [/mathjax] musí konvergovat k 0.
To znamená, že  pokud [mathjax]\{|a_{i}|\}_{i=1}^{\infty }[/mathjax] konverguje k 0, tak je operátor kompaktní.
Bodové spektrum: [mathjax](a_{1}x_{1}-\lambda x_{1},a_{2}x_{2}-\lambda x_{2},...)=(0,0...)[/mathjax].
Tedy vlastní čísla máme [mathjax]\lambda _{i}=a_{i} [/mathjax] a vlastní vektor je [mathjax]e_{i}[/mathjax].
Spektrum: Bodové spektrum je podmnožinou spektra, a tedy je pro další úvahy vynecháme.
[mathjax](a_{1}x_{1}-\lambda x_{1},a_{2}x_{2}-\lambda x_{2},...)=(y_{1},y_{2}...)[/mathjax]
[mathjax]x_{i}=\frac{y_{i}}{a_{i}-\lambda }[/mathjax] . [mathjax]\sum_{i=1}^{\infty }|\frac{y_{i}}{a_{i}-\lambda }| =\frac{1}{|min(a_{i}-\lambda)|}||y_{n}||<\infty [/mathjax] Tedy je to vždy invertovatelné. Tedy bodové spektrum=spektrum.

Jenže teď řeším určitě spor. Kdyby operátor měl být kompaktní, tak by ve spektru měla být i 0. Navíc operátor nemůže být kompaktní, pokud spektrum není konečná množina, což v mém případě spektrum není konečná množina.