Matematické Fórum

2M70 · 28. 12. 2020 21:18

Mám funkci f, $f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$ .

Mám určit, které koeficienty Fourierova rozvoje se anulují, pokud platí

$f(-x)=f(x)$ a $f(x+\pi )=-f(x)$ .

Vím, že se mají anulovat členy $a_{2k}=b_{k}=0$

ale nevím, jak to dokázat.

Dále mám určit, jak se prodlouží funkce $f\in L^{2}(0,\frac{\pi }{2})$ , na interval $(-\pi ,\pi )$ , aby její Fourierova řada měla tvar $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos (2nx)$

Vím, že se sem takto formulované příspěvky nemají vkládat, ale tady opravdu nevím, jak na to.

2M70 · 28. 12. 2020 22:16

↑ 2M70:

Nápad:

b_k = 0, protože funkce je sudá: f(-x) = f(x)

a_2k = 0, pokud je funkce f(x) 2pi - periodická, nevím ale,jestli to plyne přímo z $f(x+\pi )=-f(x)$

2M70 · 02. 01. 2021 15:33

Tak ten první úkol skoro mám, ale nevím, jak na druhý, tedy

jak se prodlouží funkce $f\in L^{2}(0,\frac{\pi }{2})$ na interval $(-\pi ,\pi )$ , aby její Fourierova řada měla tvar $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos (2nx)$ .

Dokáže někdo poradit?

jarrro · 02. 01. 2021 21:54 — Editoval jarrro (02. 01. 2021 21:55)

Veď si zistil, že [mathjax]f{\left(-x\right)}=f{\left(x\right)}[/mathjax] a
[mathjax]f{\left(x+\pi\right)}=-f{\left(x\right)}[/mathjax]a to je predsa rozširenie

2M70 · 02. 01. 2021 22:11

↑ jarrro:

Obávám se, že takové zdůvodnění mi nebude uznáno.

jarrro · 02. 01. 2021 22:20

Prečo?

2M70 · 02. 01. 2021 22:48

Protože v první části příkladu byla $f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$ , ale tady mám $f\in L^{2}(0,\frac{\pi }{2})$ a na $(-\pi ,\pi )$ ji mám prodloužit.

Když vezmu obecný vztqh pro Fourierův rozvoj
$f=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos \frac{2k\pi }{l}x+b_{k}\sin \frac{2k\pi }{l}x$

l...perioda

a porovnám s tímto příkladem

$\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos (2nx)$

Vychází $a_{0}=0$ , $b_{k}=0$ a kosinová řada s periodou $\pi$ .

Kdybych uvažoval ty dvě podmínky, tak

$f(-x)=f(x)$ implikuje sudost

$f(x+\pi )=-f(x)$ má znamenat tzv. "antiperiodicitu"

jarrro · 03. 01. 2021 08:41

Veď si zistil, že pre [mathjax]\left(-\pi,\pi\right)[/mathjax]majú funkcie s tými vlastnosťami požadovaný tvar rozvoja, teda keď funkciu z [mathjax]\left(0, \frac{\pi}{2}\right)[/mathjax] rozšíriš na [mathjax]\left(-\pi,\pi\right)[/mathjax] tak, aby mala tie vlastnosti, tak bude mať rozvoj ti vlastnosti. Rozvoju je jedno či funkcia je na[mathjax]\left(-\pi,\pi\right)[/mathjax] jedinečná alebo vznikla rozšírením z kratšieho intervalu. Teda ak mi niečo neuniká.

2M70 · 03. 01. 2021 10:01

↑ jarrro:

Přemýšlím, zda výpočet nějak (ne)ovlivní požadavek kvadratické lebesgueovské integrovatelnosti, tj.

$f\in L^{2}(-\pi ,\pi )$ a $f\in L^{2}(0,\frac{\pi }{2})$ .

Taky nevím, jak vybruslit z té antiperiodicity $f(x+\pi )=-f(x)$ .

Matematické Fórum

#1 28. 12. 2020 21:18

Anulování koeficientů Fourierovy řady

#2 28. 12. 2020 22:16

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#3 02. 01. 2021 15:33

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#4 02. 01. 2021 21:54 — Editoval jarrro (02. 01. 2021 21:55)

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#5 02. 01. 2021 22:11

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#6 02. 01. 2021 22:20

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#7 02. 01. 2021 22:48

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#8 03. 01. 2021 08:41

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

#9 03. 01. 2021 10:01

Re: Anulování koeficientů Fourierovy řady

Zápatí