Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím, při výkladu látky lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu (konst koeficienty, speciální pravá strana) jsem narazil na nesrovnalost. Řešením charakteristické rovnice se záporným diskriminantem jsou kořeny a+bi; a-bi. Poté přednášející dosadil do předpisu fce [mathjax]\mathrm{e}^{\lambda x}[/mathjax] pouze jeden kořen, a to a+bi, vznikla tak fce [mathjax]\mathrm{e}^{ax}(\cos bx +i\cdot \sin bx)[/mathjax]
Otázka zní, proč nepoužil i ten druhý kořen?
A jestliže ho tam dosadíme, jak nám vznikne tabulkový vztah:[mathjax]\mathrm{e}^{ax}(C_{1}\cos bx +C_{2}\cdot \sin bx)[/mathjax] ?
Děkuji za odpovědi
Offline
↑ hluboka600:
Ahoj, jsou li funkce
[mathjax]u_1(x)=\mathrm{e}^{ax}(\cos bx +i\cdot \sin bx),[/mathjax]
[mathjax]u_2(x)=\mathrm{e}^{ax}(\cos bx -i\cdot \sin bx)[/mathjax]
reseni homogenni rovnice (tj. tzv Fundamentalni system), potom jsou resenim i funkce
[mathjax]w_1(x)=(u_1(x)+u_2(x))/2 = \mathrm{e}^{ax}\cos bx, [/mathjax]
[mathjax]w_2(x)=(u_1(x)-u_2(x))/(2i) = \mathrm{e}^{ax}\sin bx. [/mathjax]
Resenim (obecnym) je tedy i libovolna linearni kombinace funkci [mathjax]w_1(x)[/mathjax] a [mathjax]w_2(x)[/mathjax], tj.
[mathjax]w(x)=C_1w_1(x)+C_2w_2(x)=\mathrm{e}^{ax}(C_{1}\cos bx +C_{2} \sin bx).[/mathjax]
Offline
↑ laszky:
Děkuji za odpověď, první část je mi jasná, jediné co nechápu je důvod úprav u1 a u2, proč není obecné řešení prostým součtem u1 a u2 doplněných o příslušné koeficienty C1 a C2.
Děkuji
Offline
↑ hluboka600:
Duvodem je, ze resime-li diferencialni rovnici v oboru realnych cisel, zajimaji nas realna reseni, takze se chceme zbavit te imaginarni jednotky.
Offline
↑ laszky:
Ano, to dává smysl, ale pořád mi dělá problém vstřebat w2. Jak to může být ekvivalentní úprava. Nebo proč provádíme i odečítání oněch funkcí, když imaginární jednotka vypadne i při součtu funkcí u1;u2.
Omlouvám se za moji nechápavost, jen mi to přijde nadbytečné.
Offline
↑ hluboka600:
Protoze fundamentalni system [mathjax]\{u_1,u_2\}[/mathjax] je tvoren dvema linearne nezavislymi funkcemi (jejich wronskian je nenulovy), takze chceme opet ziskat dve linearne nezavisle funkce. Jednu ziskame tim sectenim, druhou odectenim.
Offline
↑ laszky:
Ano, to jsem potřeboval, teď to chápu :) přijde mi to jako analogie případu, kdy je dvojnásobný kořen, kdy je druhá funkce [mathjax]C_{2}x\mathrm{e}^{\lambda x}[/mathjax]
Děkuji za vysvětlení :)
Offline
Stránky: 1