Matematické Fórum

kitchima · 12. 06. 2009 17:43

Caute, mam 3 ulohy:
a) dokazte, ze matice su ortogonalne

2 -1 2
A= 1\3 * 2 2 -1
-1 2 2 (ta 1\3 plati pre celu maticu)

0 sqrt6\3 sqrt3\3
T= -sqrt2\2 -sqrt6\6 sqrt3\3
sqrt2\2 -sqrt6\6 sqrt3\3 (snad som to zrozumitelne zapisala)

Viem, ze ak ma byt matica ortogonalna, determinant ma byt rovny 1 alebo -1; ale nejak sa neviem k tomu dopracovat
Matica A mi determinant vychadza 9 a v matici T 1\3. Neviem sa k tym jednotkam dostat.

b) vypocitajte maticu B=T^-1 * A*T
je matica B ortogonalna?

Neviem sa dostat k T^-1; viem, ze ak je tato matica ortogonalna, tak inverzna matica sa rovna transponovanej... ale teda neviem, ci to tak ma byt...

c) rotacii o uhol alfa (budem pisat a) v rovine (1,2) v R^3 odpoveda matica

cos a sin a 0
-sin a cos a 0
0 0 1

akej rotacii odpoveda matica B?

s tymto prikladom neviem pohnut vobec.
vopred vsetkym dakujem.

kitchima · 12. 06. 2009 18:13

A este jedna otazocka; normovany vektor je jednotkovy? dakujem. prosim poradte mi s tymi prikladmi

lukaszh · 12. 06. 2009 18:19

↑ kitchima:
To, že matica má determinant $\pm1$ neznamená, že je ortogonálna. Platí to iba opačne, ak je matica ortogonálna, potom jej determinant je $\pm1$ .
$1=\det\mathbf{I}=\det\mathbf{Q}^T\mathbf{Q}=\det^2\mathbf{Q}\;\Rightarrow\;|\det\mathbf{Q}|=1$
Vezmi napríklad maticu
$\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&1\nl0&1\end{bmatrix}\nl\det\mathbf{A}=1$
ale nie je ortogonálna. Preto treba overiť podmienku pre ortogonálne matice
$\mathbf{Q}^T\mathbf{Q}=\mathbf{I}$

Normovaný vektor má jednotkovú dĺžku $||\vec{v}||=1$

kitchima

Teda ak tomu dobre chapem, tak nemam pocitat vobec determinant? mam vypocitat transponovana matica krat povodna a ak vyjde jednotkova, tak to znamena, ze povodna matica je ortogonalna? No, idem pocitat...
A to ak chcem z tej prvej matice A napisat transponovanu, tak co mam urobit s tym krat 1\3?
A tu druhu maticu T, mozem pred nasobenim nejak upravit? tak aby som odstranila zlomky, alebo take nieco? je to povolene?

lukaszh · 12. 06. 2009 18:59

↑ kitchima:
Tú tretinu tam necháš. Je to jednoduché, stačí zapojiť na vyššie otáčky ;-)
$$x\cdot\begin{bmatrix}a&b\nlc&d\end{bmatrix}$^T=\begin{bmatrix}ax&bx\nlcx&dx\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix}ax&cx\nlbx&dx\end{bmatrix}=x\cdot\begin{bmatrix}a&c\nlb&d\end{bmatrix}$

Tú maticu nesmieš upravovať. No dobre, poďme počítať
$ax^2+bx+c=0$
Tá druhá mocnina sa mi nepáči, tak ju predtým takto upravím:
$\sqrt{x^2}=x\,;\;x\ge0$
A hurá
$ax+bx+c=0\nl\vdots$
Páči sa ti tento postup? Mne nie, takže to asi korektné nebude. Maticu ber ako matematický objekt s ktorým pracuješ. Ak násobíš čísla $x\cdot y$ , tiež si ich pred násobením neupravuješ, to by boli predsa iné čísla. Pre nás, iné matice.

kitchima · 12. 06. 2009 19:05

↑ lukaszh:
dobre, teda ta matica A transponovana bude 2 2 -1
-1 2 2
2 -1 2 a to cele krat 1\3, alebo to musim s tou 1\3 roznazosibt? vdaka

kitchima · 12. 06. 2009 19:20

asi mi to dnes vobec nezapaluje. prossim pomozte mi to niekto aj s postupom. spravila som si transponovanu maticu, potom som to roznasobila a chcela som zistit, ci teda matica A je ortogonalna ale nevychadza mi jednotkova matica... prosim, ak viete ako sa to ma riesit, tak mi napiste

Johny · 12. 06. 2009 19:29 — Editoval Johny (12. 06. 2009 19:31)

↑ kitchima:

Ok, zkus se kouknout na normy a kolmost všech řádku a sloupcu té matice. Pokud je norma jednotková a jsou-li řádky a sloupce kolmé je ortogonální . Řekl bych, že je ortogonální( ale nepočítal jsem to).

Nebo vypočítt inverzní matici a srovnat s transponovanou.

kitchima · 12. 06. 2009 19:34

↑ Johny:
Moc som nepochopila.... ved to sa nema vynasobit? tie dve matice? a ak chcel vypocitat inverznu maticu k A, tak najprv musim tu maticu roznasobit cislom 1\3?

Johny · 12. 06. 2009 19:46

↑ kitchima:

Ortogonalitu můžeš ověřit různě. Ted zas trochu nerozumím já :D. Lehce jen spočítej normy jednotlivých řádku a jednotlivých sloupců a ty by měli být jednotkové. Pak ověříš,zda sou na sebe jednotlivé řádky kolme a to samé uděláš pro sloupce. To znamená skalární součin. a je to.

Ohledně té inverzní matice, jo mužeš. I na konci je to možné dělit, je to lepší jelikož na diagonále budou pravděpodobně trojky.

kitchima

↑ Johny:
ja mam problem v tom, ze neviem, co znamena spocitat normy... :DD

kitchima · 12. 06. 2009 20:00

Dobre, tak inak, je tu niekto, co mi to pomoze vyriesit aj s postupom? Jak to pocitam, tak mi to stale nevychadza. Ani urobit tu inverznu.... nevyslo mi to, neviem, kde robim chyby... prosiiiiiiim.

Johny · 12. 06. 2009 20:14

↑ kitchima:

Ok, ukážu ti to na prvním řádku matice A. 1. řádek 2 -1 2. Normá není nic jiného že dáš každý člen na druhou a sečteš to a nakonec odmocníš dvěma.
4+1+4 = 9
sqrt(9) = 3

A po přenásobení 1/3 je výsledná norma jednotková.

kitchima · 12. 06. 2009 20:44

↑ Johny:
DAkujem zatial. idem teda pocitat. snad sa k niecomu dopracujem :)

kitchima · 13. 06. 2009 18:33

Skusala som dopocitat T^-1 * A. Tak snad som to vypocitala spravne. Mohol by mi to niekto skontrolovat? dakujem. Vyslo mi:

sqrt(2)\6 0 sqrt(2)\2
sqrt(6)\6 -sqrt(6)\3 sqrt(6)\6
sqrt(3)\9 sqrt(3)\3 sqrt(3)\3

dakujem. nechcem pocitat dalej, ak neviem, ci to je dobre.

kitchima

Skontroluje mi to niekto prosim?

kitchima · 13. 06. 2009 19:18

a ak tu je niekto co mi vie este vysvetlit ako sa robi skalarny sucin riadkov a stlpcov matice budem vdacna. lebo ze ak je matica ortogonalna, ma mat na seba kolme riadky a stlpce. ale asi to robim zle, lebo skalar mi nevychadza rovny 0. dakujem aj za to

Kondr · 13. 06. 2009 19:34

↑ kitchima:Asi nejlíp na příkladu:
2 -1 2
A= 1\3 * 2 2 -1
-1 2 2

Chci skalárně vynásobit první řádek (2/3,-1/3,2/3) a druhý sloupec (-1/3,2/3,2/3). Po složkách vynásobím a sečtu:
2/3*(-1/3)+(-1/3)*(2/3)+(2,3)*(2/3)=-2/9-2/9+4/9=0. Analogicky ostatní.

↑ kitchima:T^(-1)A by měla vyjít ortogonální, tj. každý řádek i sloupec by měl mít normu 1. To třeba první řádek nemá, třetí taky ne :(

kitchima · 23. 06. 2009 18:19

Pomohol by mi niekto dopocitat maticu B? som to pocitala po T^-1*A(vid vyssie), ale teda zle, no stale mi to vychadza tak isto. dakujem

kitchima · 23. 06. 2009 18:57

nenajde si nikto prosim chvilku aby mi to pomohol dopocitat? dakujem

nika4 · 24. 06. 2009 01:56 — Editoval nika4 (24. 06. 2009 01:58)

zda sa mi, ze niekto tu navstevuje terminy u prof. presnajdera :P

ten priklad chce mat riesenie take, ze ci su tie matice navzajom ortogonalne, tzn. ak je ich skallarny sucin roovny nule, vtedy su navzajom ortogonalne.

kitchima · 24. 06. 2009 19:16

↑ nika4:
ano, a dopadlo to dnes velmi dobre :)
to sa ma robit skalar navzajom? nie kazdu maticu zvlast?

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2009 17:43

ortogonalna matica

#2 12. 06. 2009 18:13

Re: ortogonalna matica

#3 12. 06. 2009 18:19

Re: ortogonalna matica

#4 12. 06. 2009 18:27 — Editoval kitchima (12. 06. 2009 18:35)

Re: ortogonalna matica

#5 12. 06. 2009 18:59

Re: ortogonalna matica

#6 12. 06. 2009 19:05

Re: ortogonalna matica

#7 12. 06. 2009 19:20

Re: ortogonalna matica

#8 12. 06. 2009 19:29 — Editoval Johny (12. 06. 2009 19:31)

Re: ortogonalna matica

#9 12. 06. 2009 19:34

Re: ortogonalna matica

#10 12. 06. 2009 19:46

Re: ortogonalna matica

#11 12. 06. 2009 19:53 — Editoval kitchima (12. 06. 2009 19:57)

Re: ortogonalna matica

#12 12. 06. 2009 20:00

Re: ortogonalna matica

#13 12. 06. 2009 20:14

Re: ortogonalna matica

#14 12. 06. 2009 20:44

Re: ortogonalna matica

#15 13. 06. 2009 18:33

Re: ortogonalna matica

#16 13. 06. 2009 19:06 — Editoval kitchima (13. 06. 2009 19:14)

Re: ortogonalna matica

#17 13. 06. 2009 19:18

Re: ortogonalna matica

#18 13. 06. 2009 19:34

Re: ortogonalna matica

#19 23. 06. 2009 18:19

Re: ortogonalna matica

#20 23. 06. 2009 18:57

Re: ortogonalna matica

#21 24. 06. 2009 01:56 — Editoval nika4 (24. 06. 2009 01:58)

Re: ortogonalna matica

#22 24. 06. 2009 19:16

Re: ortogonalna matica

Zápatí