Matematické Fórum

2M70 · 05. 01. 2021 17:03

Ahoj,

mám spočítat řadu:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{sin(nx)}{n^{3}}$ , $x\in (0,2\pi )$

a pomocí ní spočítat:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}}$

Jako pomůcku může být použit vztah:

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{sin(nx)}{n}=\frac{\pi -x}{2}$ , $x\in (0,2\pi )$

Tolik zadání.

*

Zatím se mi podařilo zjistit jen tohle:

Řada

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{sin(nx)}{n^{3}}$

má vyjít

$\frac{x^{3}}{12}-\frac{\pi \cdot x^{2}}{4}+\frac{\pi ^{2}\cdot x}{6}$

dále jsem našel

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (nx)}{n^{2}}=\frac{x^{2}}{4}-\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi ^{2}}{6}$

(meze integrálu neuvedeny):

$\int_{}^{}\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\cos (nx)}{n^{2}}=\int_{}^{}(\frac{x^{2}}{4}-\frac{\pi x}{2}+\frac{\pi ^{2}}{6})dx=\frac{x^{3}}{12}-\frac{\pi \cdot x^{2}}{4}+\frac{\pi ^{2}\cdot x}{6}$

Prohození sumy a integrálu (zdůvodnění ???)

$\sum_{n=1}^{\infty }\int_{}^{}\frac{\cos (nx)}{n^{2}}=\frac{x^{3}}{12}-\frac{\pi \cdot x^{2}}{4}+\frac{\pi ^{2}\cdot x}{6}$

$\int_{}^{}\frac{\cos (nx)}{n^{2}}dx=\frac{\sin (nx)}{n^{3}}$

$\sum_{n=1}^{\infty }\int_{}^{}\frac{\cos (nx)}{n^{2}}dx=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (nx)}{n^{3}}=\frac{x^{3}}{12}-\frac{\pi \cdot x^{2}}{4}+\frac{\pi ^{2}\cdot x}{6}$

Taky jsem zjistil vztahy:

(opět nezdůvodněno prohození sumy a integrálu)

$\sum_{n=1}^{\infty }\int_{0}^{\pi }\frac{\sin (nx)}{n^{2}}dx=\int_{0}^{\pi }\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (nx)}{n^{2}}dx\Rightarrow$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }[-\frac{\cos (nx)}{n^{3}}]^{\pi }_{0}=\int_{0}^{\pi }f(x)dx$ ,

$\int_{0}^{\pi }f(x)dx=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1)^{3}}$

Pro (-1)^n jsem zjistil

$(-1)^{n}=\cos (n\pi )=\sin (2n-1)\frac{\pi }{2}$

A to je asi všechno, co se mi podařilo najít.

Budu rád za jakoukoli radu, pomoc.

jarrro · 05. 01. 2021 17:39 — Editoval jarrro (05. 01. 2021 17:39)

$\left(\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(nx\right)}}{n^{3}}}\right)^{\prime\prime}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos{\left(nx\right)}}{n^{2}}}\right)^{\prime}=-\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(nx\right)}}{n}}=\frac{x-\pi}{2}$
$\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\cos{\left(nx\right)}}{n^{2}}}=\frac{x^2-2\pi x}{4}+C\nl C=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\cos{\left(0n\right)}}{n^{2}}}=\frac{\pi^2}{6}$
$\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(nx\right)}}{n^{3}}}=\frac{\frac{x^3}{3}-\pi x^2}{4}+\frac{\pi^2x}{6}+C\nl C=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(n0\right)}}{n^{3}}}=0$
Teda $\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(nx\right)}}{n^{3}}}=\frac{x^3-3\pi x^2+2\pi^2 x}{12}$
Ak chceš mať úplnú istotu tak môžeš rozviť na intervale [mathjax]\left(0, 2\pi\right)[/mathjax] ten polynóm do Fourrierovho radu.

2M70 · 05. 01. 2021 17:42

↑ jarrro:

SUPER !!! DÍKY !!!

2M70 · 05. 01. 2021 18:49

Málem bych zapomněl:

Jak na tu druhou část, tedy zjištění sumy $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}}$ pomocí vypočítané sumy

$\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(nx\right)}}{n^{3}}}=\frac{x^3-3\pi x^2+2\pi^2 x}{12}$ ?

Možná je to jednoduché, ale nenapadá mě postup. Možná, vzhledem k tomu, že součet řady platí pro všechna $x\in (0,2\pi )$ , vzít vhodné "x" a dosadit, ale to bych asi nedostal obecně platné řešení.

Jako vhodný kandidát mě napadá $(2n-1)\frac{\pi }{2}$ , ale nejsem si jistý.

jarrro · 05. 01. 2021 19:45

dosaď za $x=\frac{\pi}{2}$ párne násobky sa vynulujú a nepárne striedajú znamienko

2M70 · 05. 01. 2021 20:19

↑ jarrro:

Mám tedy dosadit $x=\frac{\pi}{2}$ do $\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{\sin{\left(nx\right)}}{n^{3}}}=\frac{x^3-3\pi x^2+2\pi^2 x}{12}$ a vyjde mi suma $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{(2n-1)^{3}}$ ?

jarrro · 05. 01. 2021 20:32

↑ 2M70:áno resp. mínus tá hodnota

2M70 · 05. 01. 2021 20:42

↑ jarrro:

Když dosadím $x=\frac{\pi}{2}$ do $\frac{x^3-3\pi x^2+2\pi^2 x}{12}$ , dostávám, pokud jsem dobře počítal,
$-\frac{1}{96}\pi ^{3}$ .

Výsledek je tedy asi, jak píšeš, "mínus ta hodnota", tedy $\frac{1}{96}\pi ^{3}$ .

(Teď mě napadá: jak zdůvodním tu změnu znaménka?)

jarrro · 05. 01. 2021 20:58 — Editoval jarrro (05. 01. 2021 20:58)

$\frac{\frac{\pi^3}{8}-3\pi \frac{\pi^2}{4}+2\pi^2 \frac{\pi}{2}}{12}=\frac{\pi^3-6\pi^3+8\pi^3}{96}=\frac{\pi^3}{32}$
Teda $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n-1\right)^{3}}=-\frac{\pi^3}{32}$
Zmena znamienka je preto, lebo $\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}=1$ zatiaľ čo $\left(-1\right)^{1}=-1$

2M70 · 05. 01. 2021 21:03

↑ jarrro:

Máš pravdu, udělal jsem chybu v tom posledním členu (spletl jsem pi a x).

Platí tedy

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n-1\right)^{3}}=-\frac{\pi^3}{32}$ s tím mínusem?

jarrro · 05. 01. 2021 21:05

↑ 2M70:áno

2M70 · 05. 01. 2021 22:03

↑ jarrro:

VĎAKA !!!

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2021 17:03

Fourierovy řady a jejich sčítání

#2 05. 01. 2021 17:39 — Editoval jarrro (05. 01. 2021 17:39)

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#3 05. 01. 2021 17:42

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#4 05. 01. 2021 18:49

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#5 05. 01. 2021 19:45

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#6 05. 01. 2021 20:19

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#7 05. 01. 2021 20:32

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#8 05. 01. 2021 20:42

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#9 05. 01. 2021 20:58 — Editoval jarrro (05. 01. 2021 20:58)

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#10 05. 01. 2021 21:03

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#11 05. 01. 2021 21:05

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

#12 05. 01. 2021 22:03

Re: Fourierovy řady a jejich sčítání

Zápatí