Matematické Fórum

↑ vanok:

Tak grupa [mathjax]S_{3}[/mathjax] je izomorfní s [mathjax]S(\triangle )[/mathjax] (symetrie rovnostranného trojúhelníku). Jejími prvky tak jsou: identita, rotace+, rotace-, a 3 osové soum.

Má tedy řád 6, prvky mají řády: 1, 3, 3, 2, 2, 2.
Nejedná se o cyklickou grupu, podgrupy jsou: [mathjax]\{id\}[/mathjax] řádu 1, [mathjax]\langle Sa \rangle , \langle Sb \rangle , \langle Sc \rangle [/mathjax] řádu 2, [mathjax]\langle r+\rangle = \langle r-\rangle[/mathjax] řádu 3 a samotná [mathjax]S(\triangle )[/mathjax] řádu 6.

↑ vanok:
Jasně, díky. Hledala jsem složitosti tam, kde nejsou.

Ještě bych se rovnou zeptala na jednu věc (pokud neobtěžuji), ať v tom mám trochu jasněji. Tvrzení: Grupa je komutativní právě tehdy, když všechny její vlastní podgrupy jsou komutativní.
Implikace zleva doprava je podle mého pravdivá, pokud komutativita platí pro všechny prvky mn. G, platí i pro její podmnožiny. Ale zprava doleva si nevím rady. Podle mého to neplatí, když jsou prvky komutativní v nějaké podgrupě a jiné prvky v další podgrupě také, nemusí to znamenat, že jsou navzájem komutativní i v dané grupě, ne?

↑ denvan:,
Pridam ti tu dalsiu grupu, ktora nie je komutativna ( a tak pochopitelne nie je cyklicka) a ktorej podgrupy su cyklicke.  Ide o dihedralnu grupe, kde n je neparne.   
A tiez ti pripomeniem, ze mame aj priklad kde podgrupy su cyklicke a grupa i ked nie cyklicka moze byt komutativna: mozes mysliet na , kde p je prvocislo.   

No mame este plno dalsich prikladov .... no urcite to uvidis na prednaskach.

Ahoj ↑ denvan:,
Mozem ti pridat dalsiu grupu na premyslanie
  grupa kvaternionov ( ma 8 prvkov [mathjax]\pm 1,\pm i, \pm j,\pm k[/mathjax] )
jej vlastne podgrupy su tieto 4 cyklicke groupy: [mathjax]<-1>, <i>, < j>,<k>[/mathjax] a ako iste dobre vies tato grupa nie je komutativna.