Matematické Fórum

matematikar123 · 08. 01. 2021 13:18

Dobrý den,

prosil bych o výpočet příkladu.

Z pravidelného tyřbokého hranolu s podstavou 5x5dm a výškou 7dm vytvořte co největší možný kužel. Jaký bude povrch tohoto kužele?

Ferdish

Niečo podobné sme tu už riešili včera, akurát tam bol predmetom objem takéhoto najväčšieho kužeľa.

V diskusii sme sa síce s úvahami trochu odtrhli, ale keďže boli vo všeobecnosti mimo SŠ úroveň, tak budeme uvažovať najjednoduchší scenár a síce rotačný kužeľ (kruhová podstava, os kužeľa kolmá na podstavu) s podstavou umiestnenou v jednej zo stien hranola.

Mirek2 · 08. 01. 2021 17:20

Základem úspěchu je obrázek.
Potřebuješ znát poloměr podstavy [mathjax]r[/mathjax] a výšku kužele [mathjax]v[/mathjax].

Honzc · 10. 01. 2021 22:13 — Editoval Honzc (15. 01. 2021 05:52)

↑ matematikar123:
Tato takto zadaná úloha není vůbec jednoduchá.
Totiž největší není kužel s podstavou ve čtverci 5x5 a výškou 7 dm, ale kužel s rozměry
r=2.7028 a v=6.5782 dm
Výpočet povrchu nechám na tobě.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jestli tě zajímá jak to vypadá tak viz.Zde

Ferdish

↑ Honzc:
Prečítaj si prosím môj príspevok i topic, na ktorý odkazujem.

Honzc · 13. 01. 2021 18:52 — Editoval Honzc (15. 01. 2021 05:50)

↑ Ferdish:
Nevím co je na tvém příspěvku a topicu tak zajímavého, ale přečetl jsem si ho.
Další "úvahy" jsou spíš myšleny pro zamyšlení těch, co podobné úlohy vymyšlejí (a nedomýšlejí)
A ptotože nemám rád nedořešené úlohy tak dávám mé "obecné" řešení problému vepsání největšího kuželu do hranolu axaxv
Označme $x$ kolmou vzdálenost středu kuželu od roviny podstavy, $v_{1}$ vzdálenost středu podstavy od středu druhé podstavy (pro případ x=0) nebo vzdálenost středu podstavy kuželu od jednodo vrcholu "horní" podstavy hranolu (pro x je různé od nuly) a poloměr podstavy kuželu $r_{1}$
Označme dále $k=0.87209812421$
Pak pro
1. $\frac{v}{a}\le k$
$x=0,r_{1}=\frac{a}{2},v_{1}=v$
2. $k<\frac{v}{a}\le 1$
$x=\frac{v}{2},r_{1}=x\sqrt{1+\frac{2(v-x)^{2}}{a^{2}}},v_{1}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+(v-x)^{2}}$
3. $\frac{v}{a}>1$
x je řešením rovnice $x^{4}-2vx^{3}+(\frac{a^{2}}{4}+v^{2})x^{2}-\frac{a^{4}}{8}=0$
$r_{1}=x\sqrt{1+\frac{2(v-x)^{2}}{a^{2}}},v_{1}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+(v-x)^{2}}$
Maximální vepsaný rotační kužel má pak rozměry $r_{1},v_{1}$