Matematické Fórum

noone · 11. 01. 2021 10:28

ahoj absolutne neviem pohnuť s nasledujúcimi prikladmi:

1,
Guľôčka s hmotnosťou m, ktorá dostala začiatočnú rýchlosť vo, sa pohybuje prostredím, ktorého odporová
sila Fo rastie lineárne s rýchlosťou hmotného bodu, t.j. Fo = - k v, kde k je konštanta. Akú dráhu prejde
guľôčka až do zastavenia, keď okrem odporu prostredia nepôsobí na ňu žiadna sila?

2, Na hmotné teleso pôsobí stále v tom istom smere sila, ktorej hodnota závisí od času podľa vzťahu F = F0-kt,
kde F0 = 36N a k = 6Ns-1. Na začiatku bolo teleso v pokoji. Počas prvých 10 sekúnd urazilo dráhu 100m.
Vypočítajte jeho hmotnosť!

Mirek2 · 11. 01. 2021 12:05 — Editoval Mirek2 (11. 01. 2021 15:38)

2)

$a=\frac{F_0-kt}{m}$

$a=\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}\quad \rightarrow\quad {\rm d}v=a\cdot {\rm d}t \quad \rightarrow\quad v=\int a \cdot {\rm d}t$

$v=\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}\quad \rightarrow\quad {\rm d}s=v\cdot {\rm d}t \quad \rightarrow\quad s=\int v \cdot {\rm d}t$

Mirek2 · 11. 01. 2021 13:06 — Editoval Mirek2 (11. 01. 2021 15:56)

1)

$a=\frac{F_o}{m}=-\frac{k}{m}\cdot v$

což lze zapsat jako diferenciální rovnici ([mathjax]x[/mathjax] je dráha, první derivace podle času je rychlost, druhá derivace je zrychlení)

$\frac{{\rm d}^2 x}{{\rm d}t^2}=-\frac{k}{m}\cdot\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$

diferenciální rovnice [mathjax]x''=-cx'[/mathjax], kde [mathjax]x=x(t)[/mathjax], má řešení - závislost dráhy na čase

$x(t)=\frac{1}{c}C_1 e^{-ct} + C_2$

konstanty [mathjax]C_1, C_2[/mathjax] určíme tak, že tuto rovnici derivujeme podle času, dostaneme rychlost, přičemž pro [mathjax]t=0[/mathjax] máme [mathjax]v(0)=v_0[/mathjax],
získanou konstantu dosadíme do rovnice pro dráhu, kde položíme [mathjax]x(0)=0[/mathjax] (na začátku je dráha nulová) a získáme druhou konstantu

Podrobněji řešená diferenciální rovnice je např. na str. 17-18, tam bychom měli F = 0: Jednoduché pohybové rovnice

Mirek2 · 12. 01. 2021 11:38

2) nebo

$ma=F$

$m\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=F_0-kt$

$m\,{\rm d}v=(F_0-kt){\rm d}t$

$\int_0^v m{\rm d}v=\int_0^t (F_0-kt){\rm d}t$

$mv=F_0t-\frac{1}{2}kt^2$

$m\frac{{\rm d}s}{{\rm d}t}=F_0t-\frac{1}{2}kt^2$

rovnici vynásobíme [mathjax]{\rm d}t[/mathjax] a opět integrujeme

noone · 13. 01. 2021 21:12

↑ Mirek2:

Ďakujem za odozvu, postupu rozumiem, vedel by si prosím dokončiť derivácie a dopočítať príklad. :)

noone · 13. 01. 2021 21:19

↑ noone:
Priklad 1

Mirek2 · 14. 01. 2021 14:36 — Editoval Mirek2 (14. 01. 2021 14:39)

diferenciální rovnice (viz poznámka na konci)

$\frac{{\rm d}^2 x}{{\rm d}t^2}=-\frac{k}{m}\cdot\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$

má řešení

$x(t)=\frac{m}{k}C_1 e^{-\frac{k}{m}t} + C_2$

derivací dráhy dostaneme rychlost

$v(t)=x'(t)=-C_1 e^{-\frac{k}{m}t}$

počáteční rychlost je [mathjax]v_0[/mathjax], tedy

$v(0)=v_0=-C_1 e^{-\frac{k}{m}0}=-C_1$

odkud [mathjax]C_1=-v_0[/mathjax], po dosazení

$v(t)=v_0 e^{-\frac{k}{m}t}$

odtud vidíme, že rychlost bude nulová až v nekonečném čase

dráha

$x(t)=-\frac{m}{k}v_0 e^{-\frac{k}{m}t} + C_2$

dráha v čase [mathjax]t=0[/mathjax]

$x(0)=0=-\frac{m}{k}v_0 + C_2$

odtud [mathjax]C_2=\frac{m}{k}v_0[/mathjax], pak

$x(t)=-\frac{m}{k}v_0 e^{-\frac{k}{m}t} +\frac{m}{k}v_0=\frac{m}{k}v_0$1-e^{-\frac{k}{m}t}$$

v nekonečném čase je limita [mathjax]e^{-\frac{k}{m}t}=0[/mathjax]

a dráha, kterou kulička urazí do zastavení, je

$x=\frac{m}{k}v_0$

Poznámka: Jednodušší je asi odvodit diferenciální rovnici pro rychlost ze vztahu

$a=-\frac{m}{k}v$

$\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=-\frac{m}{k}v$