Matematické Fórum

↑ katie200303: Předpokládám hezké, spojité, hladké křivky. Zkusím jednoduše - derivace (v bodě) má geometrický význam sklonu tečny (v bodě). V okolí tohoto bodu se funkce chová velmi podobně, jako právě ta tečna. Můžu si tedy výpočet té (často složité) funkce nahradit tím, že dosazuju jen do rovnice tečny (tj. přímky) - a chyba nebude velká. Takže tu tečnu budu považovat za Taylorovu přímku - tj. Taylorův polynom 1. řádu.

Co kdyby však ta chyba byla pro mé účely byla pořád moc velká? Možná bych chtěl tu funkci aproximovat lepší křivkou. Takovou křivkou, která by se dobře počítala (třeba polynom), ale která by byla ohebnější, než poněkud strnulá přímka. No ... mohl bych použít třeba Taylorovu parabolu - tj. Taylorův polynom 2. řádu. Hledal bych parabolu, která co nejlépe přibližuje chování té mé funkce. Jak takovou parabolu najít?

U Taylorova polynomu 1. řádu (tj. u tečny) jsem požadoval 2 věci:
(0) shodnost funkčních hodnot v bodě $a$ mezi přímkou a původní funkcí (což je shodnost nultých derivací)
(1) shodnost prvních derivací v bodě $a$

Ukazuje se, že polynom 1. stupně (předpis hledané tečny) s tímto předpisem:
$T_a(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)$
obě podmínky splňuje (a je to jediná taková funkce).

Jak to bude u Taylorova polynomu 2. řádu? Jakou parabolu zvolit, aby co nejvíc připomínala v okolí bodu $a$ mou funkci? Inu, obdobně:
(0) shodnost funkčních hodnot v bodě $a$ mezi přímkou a původní funkcí (což je shodnost nultých derivací)
(1) shodnost prvních derivací v bodě $a$
(2) shodnost druhých derivací v bodě $a$

Ukazuje se, že polynom 2. stupně (předpis hledané paraboly) s tímto předpisem :
$T_a(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(a)\cdot (x-a{)}^2$
tyto podmínky splňuje (a že je to jediná taková parabola).

Vskutku, zkus si funkci nederivovat, pak derivovat (vůči x) 1krát, a pak 2krát a postupně nahlédneš,  že platí:
$T_a(a)=f(a),T_a^{\prime }(a)=f^{\prime }(a),T_a^{\prime \prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)$

V učebnicích mat. analýzy se ukazuje, že v jistém smyslu je Taylorův polynom (daného stupně) nejlepší aproximací ze všech možných polynomů (daného stupně). To znamená, že se dopouštíme pro jisté dostatečně malé okolí bodu $a$ nejmenší chyby, jaké se lze dopustit. Že pro libovolný jiný polynom (toho řádu) by ta chyba byla větší. Proto Taylorův polynom je něco jako nejlepší možný kamuflážník (vůči dané funkci a danému bodu $a$) mezi všemi jinými polynomy. A proto je tak důležitý - spojuje jednoduchost (dobře se počítá, stačí umět derivovat) a relativní přesnost (malá chyba).

Na příkladu - třeba pro funkci $y=\cos (x)$ máme Taylorův polynom 2. řádu v bodě 0:  $T_0(x)=1-\frac{x^2}{2}$. Zkus si tyhle 2 funkce vykreslit v nějakém programu (nefunguje tu upload obrázků) a uvidíš, že v okolí bodu $a=0$ se podobají jako vejce vejci, a teprve až když s proměnnou $x$ jsi dostatečně daleko od 0, tak se funkce začnou významně lišit.


Pro někoho by však i parabolická aproximace mohla být příliš nepřesná, a tak šáhne po Taylorově polynomu 3. stupně, nebo 4. stupně, atd. Obecně čím vyšší stupeň polynomu, tím lepší příblížení. Pro každý nový stupeň polynomu musí přibýt 1 odpovídající člen. Pokud bych chtěl uvážit Taylorův polynom "nekonečného řádu" - což by odpovídalo nekonečně mnoha členům - dostal bych tzv. Taylorovu řadu.