Matematické Fórum

hluboka600 · 27. 11. 2020 10:21

Zdravím, narazil jsem na jistý rozporuplný integrál. Je to níže uvedený nevlastní integrál:
[mathjax]\int_{-\infty }^{\infty }\frac{2x}{x^2+1}dx[/mathjax]
Rozpor tkví v tom, že mi integrál vychází nula, ačkoliv má být divergentní integrál. První, co mě napadlo, že je to lichá funkce a v případě symetrických i integračních mezí by měla plocha vyjít nula. Nicméně nekonečno není z oboru R, takže nevíme, jestli je skutečně symetrický ten interval. Poté jsem postupoval klasickým způsobem:
[mathjax]\int_{-\infty }^{\infty }\frac{2x}{x^2+1}dx = |ln|t||_\infty ^\infty = \lim_{t\to\infty}ln|t|-\lim_{t\to\infty}ln|t| = [/mathjax]
[mathjax]\infty -\infty => \lim_{t\to\infty}ln|\frac{t}{t}| => l’Hosp => \lim_{t\to\infty}ln1 = 0[/mathjax]
Tento výsledek je v rozporu s wolframem i dalším výpočetním softwarem. Je chyba v tom, že jsem upravil poslední vztah tj. nekonečno - nekonečno?
Předem děkuji za odpověď.

jarrro · 27. 11. 2020 10:39 — Editoval jarrro (27. 11. 2020 10:39)

↑ hluboka600:je to ten istý dôvod ako tu

vlado_bb · 27. 11. 2020 10:40

↑ hluboka600: $\lim_{x \to \infty}(x+2) - \lim_{x \to \infty} x =$

$\lim_{x \to \infty}((x+2)-x)=$

hluboka600 · 27. 11. 2020 11:03

↑ jarrro: tam ale počítají s nekonečny trošku jinak, tady ale jde udělat úprava, že se vyhnu výsledku nekonečno - nekonečno, nebo proč to nelze udělat?

hluboka600 · 27. 11. 2020 11:05

↑ vlado_bb: kdyby to bylo takhle, tak souhlasím, ale tento vztah jde ještě upravit ne?

Ferdish · 27. 11. 2020 11:14

↑ hluboka600:
Áno ale v prvom prípade (podľa tvojej intuície) dostaneš

$\lim_{x \to \infty}(x+2) - \lim_{x \to \infty} x =\infty -\infty=0$

zatiaľ čo v druhom zasa dostaneš

$\lim_{x \to \infty}((x+2)-x)=\lim_{x \to \infty}2=2$

čo je spor.

hluboka600 · 27. 11. 2020 11:22

↑ Ferdish:jo takhle je to myšleno, jasné. No, podle mě ten hlavní problém je, že jsem upravoval ty limity, protože divergentní integrál je ve chvíli, kdy jedna z limit neexistuje, nebo je nevlastní. V tomto případě máme dvě nevlastní limity, takže tady bych možná viděl ten problém.

jarrro · 27. 11. 2020 11:24 — Editoval jarrro (27. 11. 2020 11:41)

↑ hluboka600:nevyhneš sa [mathjax]\infty{}-\infty{}[/mathjax]. Tiež ti vyjde Lebesgue ako rozdiel nekonečien, aj Newton a rovnako (nevlastný) Riemann.
Rozdiel oproti [mathjax]\frac{1}{x}[/mathjax] je len ten, že v tvojom prípade robia problém len nekonečné hranice a v prípade prevrátenej hodnoty aj nevlastný bod [mathjax]0[/mathjax]
Iné je počítať P.V. (principal value)

Ferdish

↑ hluboka600: Tak ako limita rozdielu dvoch funkcií je rovná rozdielu limít jednotlivých funkcií, ak limity týchto funkcii sú vlastné. Čo v tomto prípade neplatí.

hluboka600 · 27. 11. 2020 11:39

↑ Ferdish: ale když mám třeba rozdíl limit. [mathjax]\lim_{x\to\infty}x^2 - \lim_{x\to\infty}x^3[/mathjax]
Tak i když jsou obě nevlastní, tak je musím dát pod jednu limitu, aby vyšlo minus nekonečno.

Ten příklad s integrálem jsem teda odvodil jako divergentní integrál z definice integrálů, které to nesplňuje.

jarrro · 27. 11. 2020 11:46 — Editoval jarrro (27. 11. 2020 11:48)

Rozdiel [mathjax]\lim\limits_{x\to\infty}x^2 - \lim\limits_{x\to\infty}x^3[/mathjax] je nedefinovaný, zatiaľ čo [mathjax]\lim\limits_{x\to\infty}{\left(x^2 - x^3\right)}=-\infty{}[/mathjax]. Nemôže sa teda jednať o rovnaké veci.

Richard Tuček · 17. 01. 2021 14:43

nekonečno - nekonečno = není definováno

Richard Tuček · 17. 01. 2021 14:45

Je to trochu rozporné. Při klasickém výpočtu dostanu nekonečno - nekonečno, což není definováno.
Spočtu-li integrál od -K do K (K je konstanta) dostanu hodnotu nula, tudíž limita do nekonečna je také nula. Říkáme, že integrál existuje ve smyslu hlavní hodnoty.
Příklady na integrály jsou též na mém webu: www.tucekweb.info

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2020 10:21

Nevlastní integrál

#2 27. 11. 2020 10:39 — Editoval jarrro (27. 11. 2020 10:39)

Re: Nevlastní integrál

#3 27. 11. 2020 10:40

Re: Nevlastní integrál

#4 27. 11. 2020 10:49 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: nadbytočné

#5 27. 11. 2020 11:03

Re: Nevlastní integrál

#6 27. 11. 2020 11:05

Re: Nevlastní integrál

#7 27. 11. 2020 11:14

Re: Nevlastní integrál

#8 27. 11. 2020 11:22

Re: Nevlastní integrál

#9 27. 11. 2020 11:24 — Editoval jarrro (27. 11. 2020 11:41)

Re: Nevlastní integrál

#10 27. 11. 2020 11:26 — Editoval Ferdish (27. 11. 2020 11:28)

Re: Nevlastní integrál

#11 27. 11. 2020 11:39

Re: Nevlastní integrál

#12 27. 11. 2020 11:46 — Editoval jarrro (27. 11. 2020 11:48)

Re: Nevlastní integrál

#13 17. 01. 2021 14:43

Re: Nevlastní integrál

#14 17. 01. 2021 14:45

Re: Nevlastní integrál

Zápatí