#1 01. 02. 2021 09:36
Derivácia funkcie
Ahojte, chcel by som vás poprosiť o pomocou s týmto zadaním.
Rozlože číslo [mathjax]a[/mathjax] na dva sčítance tak, aby súčet ich druhých mocnín bol minimálny.
Som gymnazista, čiže moja znalosť derivácie je minimálna. Keď je sčítanec známy, nemám problém s touto úlohou. Je aj logické, že sčítanec treba rozdeliť na dva rovnaké čísla, ale chcel by som získať prvú deriváciu funkcie súčtu mocnín prvého a druhého sčítanca.
[mathjax]f: y = 2x^{2} - 2ax + a^{2}[/mathjax]
I. sčítanec [mathjax]x[/mathjax]
II. sčítanec [mathjax]a - x[/mathjax]
Neviem si poradiť s deriváciou [mathjax]-2ax[/mathjax].
Ďakujem.
Offline
#2 01. 02. 2021 09:55
#4 01. 02. 2021 10:12 — Editoval Richard Tuček (01. 02. 2021 10:19)
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Derivácia funkcie
Já bych na to šel takto:
c=x+(c-x)
položím: y=x^2+(c-x)^2
y'=2*x - 2*(c-x)=2x-2c+2x=4x-2c
Rovnice 4x-2c=0 má řešení x=c/2
P.S. c je konstanta, derivace konstanty je rovna nule.
Offline
#5 01. 02. 2021 10:25
Re: Derivácia funkcie
↑ Richard Tuček:
Prečo derivácia [mathjax](c-x)^{2}[/mathjax] je [mathjax]-2*(c-x)?[/mathjax]
Offline
#6 01. 02. 2021 11:05
Re: Derivácia funkcie
↑ TrollyJ:
Derivace složené funkce [mathjax]f(g(x))[/mathjax] je [mathjax]f'(g(x)) \cdot g'(x)[/mathjax].
Takže derivace [mathjax](c-x)^2[/mathjax] se spočítá jako derivace té druhé mocniny (tedy [mathjax]2(c-x)[/mathjax], protože derivace [mathjax]x^2 = 2x[/mathjax]) krát derivace toho parametru ([mathjax](c-x)' = -1[/mathjax]), tedy [mathjax]2(c-x)(-1) = -2(c - x)[/mathjax].
Offline
#7 01. 02. 2021 11:20
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1273
- Reputace: 20
- Web
Re: Derivácia funkcie
Je to vlastně derivace složené funkce (viz minulý příspěvek).
((c-x)^2)'=2*(c-x)*(0-1)
Offline
#8 01. 02. 2021 13:24
- Mirek2
- Příspěvky: 1213
Re: Derivácia funkcie
Složenou funkci [mathjax]f(x)=(c-x)^2[/mathjax] můžeme rozepsat [mathjax]f=u^2, \,\, u=c-x[/mathjax] (vnější a vnitřní funkce).
Pak [mathjax]f[/mathjax] derivujeme podle [mathjax]u[/mathjax] a [mathjax]u[/mathjax] podle [mathjax]x[/mathjax], tedy [mathjax]f'=2u, \,\, u'=-1[/mathjax].
Derivace složené funkce je rovna součinu derivace funkce vnější a vnitřní, tj. [mathjax]2u\cdot (-1)=-2(c-x)[/mathjax].
Offline