Matematické Fórum

Skrytý text:

Označme
$A_1=A\setminus B,B_1=B\setminus A,X=A\cap B$
$C_1=C\setminus D,D_1=D\setminus C,Y=C\cap D$
a pak lze zkoumanou nerovnost vyjádřit jako
$(A_1\times B_1)\cup (X\times B_1)\cup (B_1\times A_1)\cup (X\times A_1)\ne$
$(C_1\times D_1)\cup (Y\times D_1)\cup (D_1\times C_1)\cup (Y\times C_1)$

a lze ukázat, že všechny množiny na levé straně jsou disjunktní. Totéž na pravé straně. Z toho plyne (budeme-li pro spor předpokládat, že platí rovnost), že se vzájemně ty z levé a pravé strany musí rovnat (i když ne nutně v tomto pořadí).

Musí být (porovnáním druhých složek) buď $B_1=D_1$ - a tedy $A_1=C_1$ a nebo $B_1=C_1$ - a tedy $A_1=D_1$. V obou případech pak dostaneme, že X=Y, čímž je porušeno $\{A,B\}\ne \{C,D\}$.