Matematické Fórum

Skrytý text:

Označme
[mathjax]A_1=A \setminus B, B_1=B \setminus A, X=A \cap B[/mathjax]
[mathjax]C_1=C \setminus D, D_1=D \setminus C, Y=C \cap D[/mathjax]
a pak lze zkoumanou nerovnost vyjádřit jako
[mathjax](A_1 \times B_1) \cup (X \times B_1) \cup (B_1 \times A_1) \cup (X \times A_1) \neq [/mathjax]
[mathjax](C_1 \times D_1) \cup (Y \times D_1) \cup (D_1 \times C_1) \cup (Y \times C_1)[/mathjax]

a lze ukázat, že všechny množiny na levé straně jsou disjunktní. Totéž na pravé straně. Z toho plyne (budeme-li pro spor předpokládat, že platí rovnost), že se vzájemně ty z levé a pravé strany musí rovnat (i když ne nutně v tomto pořadí).

Musí být (porovnáním druhých složek) buď [mathjax]B_1=D_1[/mathjax] - a tedy [mathjax]A_1=C_1[/mathjax] a nebo [mathjax]B_1=C_1[/mathjax] - a tedy [mathjax]A_1=D_1[/mathjax]. V obou případech pak dostaneme, že X=Y, čímž je porušeno [mathjax]\{A,B\}\neq\{C,D\}[/mathjax].