Matematické Fórum

Tak ten první příklad je na substituci. V podobných příkladech děláme substituci následovně:
je-li funkce "lichá k sinu" (tj. když u všech sinů v předpisu změníme znaménko, změní se znaménko celého výrazu), pužijem substituci cos t =x, je-li "lichá ke kosinu", použijeme substituci sin t=x.

V našem případě je lichá k sinu, tedy
cos(t)=x, po zderivování tohoto vztahu
-sin(t) dt=dx.
Počítáme tedy integrál z výrazu
sin^3(t)*cos^2(t)dt=-sin^2(t)*cos^2(t)(-sin(t)dt)=-(1-x^2)x^2dx=(-x^2+x^4)dx.
(Použili jsme zde známý vzorec sin^2(t)=1-cos^2(t).)
Ten je roven -x^3/3+x^5/5+C, po doszení zpět ze substitučních rovnic dosadíme za x=cos(t) dostaneme hledaný integrál.