Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Limita posloupnosti různé důkazy z definice (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 13. 02. 2021 01:46
Limita posloupnosti různé důkazy z definice
Ahoj,
snážím se dokazovat některá "tvrzení" z definice, nemám problém pokud dokazuji výsledek nějakého konkrétního příkladu, ale trochu se plácám v dokazování různých vět nebo "obecných" příkladů.
Například
Pokud mám limitu [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=+\infty \lim\limits_{n\to\infty}b_n=+\infty[/mathjax] a snažím se dokázat [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=+\infty [/mathjax]. Mohu říct, že existují
[mathjax]\forall n> n_1: a_n>\frac{c}{2}[/mathjax]
[mathjax]\forall n> n_2: b_n>\frac{c}{2}[/mathjax]
Potom mohu položit n0=max(n1,n2) a říct, že pro všechny n větší něž n0 platí [mathjax]a_n+b_n> \frac{c}{2}+\frac{c}{2}=c[/mathjax] ?
Chtěl bych se zeptat jaký bude rozdíl pokud bude jedna posloupnost konvergentní, například [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=5[/mathjax] a druhá divergentní [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\infty [/mathjax].
Mohu stanovit podmínku pro první posloupnost [mathjax]|a_n - 5|<\varepsilon [/mathjax] a říct pro všechny n pro která je to splněno (nevím jakt to přesně zapsat/vyjádřit) a položit znovu n0=max(n1,n2).
Obdobně pokud bych měl dvě divergentní posloupnosti k +[mathjax]\infty [/mathjax] mohu říct, že platí [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}(a_n*b_n)=+\infty [/mathjax] tak že opět vyberu indexy pro každou posloupnost a zvolím ten větší protože když to od něj platí už pro všechny tak je jedno jestli pár "členů vynechám".
Předem děkuji za jakýkoliv reakce.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Aaron123)
#2 13. 02. 2021 08:31
Re: Limita posloupnosti různé důkazy z definice
↑ Aaron123:
Řekl bych, že uvažuješ správným směrem.
Offline
#3 13. 02. 2021 09:51
- nejsem_tonda
- Příspěvky: 649
- Reputace: 54
Re: Limita posloupnosti různé důkazy z definice
↑ Aaron123:
Urcite uvazujes spravnym smerem.
Ja bych akorat na zacatek jasne napsal, ze nam nepritel zadal libovolne velke kladne [mathjax]c[/mathjax].
Ty potom k tomuto [mathjax]c[/mathjax] umis najit [mathjax]n_0=\max(n_1,n_2)[/mathjax] (presne tak, jak jsi popsal) takove, ze pro vsechna [mathjax]n>n_0[/mathjax] plati [mathjax]a_n+b_n> \frac{c}{2}+\frac{c}{2}=c[/mathjax]. Protoze nepritel mohl zvolit [mathjax]c[/mathjax] libovolne velke, plyne z posledni nerovnosti, ze [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=+\infty [/mathjax].
Ve druhem pripade (jedna posloupnost je konvergentni, druha divergentni) taky uvazujes dobre, akorat bych zase na zacatek jasne rekl, ze nam nepritel zada libovolne velke kladne [mathjax]c[/mathjax].
Potom si najdu:
* index [mathjax]n_1[/mathjax] tak, aby pro vsechna [mathjax]n>n_1[/mathjax] platilo [mathjax]|a_n - 5|<1 [/mathjax] (jednicka je zde jenom moje oblibena konstanta, muzes zvolit libovolnou)
* index [mathjax]n_2[/mathjax] tak, aby pro vsechna [mathjax]n>n_2[/mathjax] platilo [mathjax]b_n > c [/mathjax]
Potom zase zvolim [mathjax]n_0=\max(n_1,n_2)[/mathjax] a pro vsechna [mathjax]n>n_0[/mathjax] mi plati jak [mathjax]b_n > c [/mathjax], tak i [mathjax]|a_n - 5|<1 [/mathjax], tj. specialne [mathjax]a_n > 4 [/mathjax]. Sectenim dostavam [mathjax]a_n+b_n > c+4[/mathjax], z cehoz plyne [mathjax]\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=+\infty [/mathjax].
U prikladu se soucinem divergentnich posloupnosti uvazujes spravne.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Vysoká škola: úvod do studia
- » Limita posloupnosti různé důkazy z definice (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)