Matematické Fórum

↑ Aaron123:
Řekl bych, že úpravy samy o sobě špatně nejsou a už vůbec ti je nikdo nemůže zakázat. Jde spíš o to, že ti nic neříkají o výsledku (třeba by si někdo mohl omylem myslet, že druhý součinitel u prvního příkladu je jedna, ale pokud ukážeš, že má konečnou hodnotu, a to má, tak je ta úprava ok...).
A úvahu u toho druhého příkladu máš, dle mého názoru, správně.

↑ Aaron123:

Když do [mathjax](\frac{1 + \frac{1}{3n}}{1 + \frac{5}{4n}})^n[/mathjax] dosadíš [mathjax]\infty[/mathjax], dostaneš [mathjax]1^\infty[/mathjax], což je neurčitý výraz.

↑ Aaron123:

Kdybys ve druhém příkladu pokrátil zlomek jen [mathjax]n[/mathjax], dostal bys [mathjax]\lim_{n\to\infty}(\frac{3+\frac{1}{n}}{4+\frac{1}{n}})^n[/mathjax], kam už nekonečno dosadit můžeš a vyjde ti nula. Jde jen o to, abys nedostal na konci neurčitý výraz.

Tento typ limit také velmi často vede na Eulerovo číslo tak, že [mathjax]\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)} = e[/mathjax], jestliže [mathjax]\lim_{n\to\infty}f(x) = \infty[/mathjax].

U prvního příkladu mi tvé úpravy přijdou v pořádku - [mathjax]\frac{2^n}{5^n}[/mathjax] můžeš přepsat jako [mathjax](\frac{2}{5})^n[/mathjax], což je 0, a druhý činitel má konečnou hodnotu, takže limita je rovna 0.

Řekl bych obecně, že pokud máš tvar (něco)^n nebo příklad, kde máš počet sčítanců daný závislý na n, tak nemůžeš takto postupovat a zvolit úplně jinou cestu, tady konkrétně v prvním příkladě přes součet geometrické posloupnosti a v tom druhém přes limitu sevřené posloupnosti.

↑ osman:
Jasně, mě spíš šlo o ty "nepovolené" úpravy.

↑ osman:

Neplatilo, protože [mathjax]1^\infty[/mathjax] je neurčitý výraz.