Matematické Fórum

↑ edison:
Říkal jsem si, takovej vopruz tady nikdo řešit nebude. Ale když jsem dočetl, k čemu to bude ve finále dobré, zastyděl jsem se a musel jsem se o to pokusit a snad udělat tento svět zase o něco krásnější a bezpečnější. Takže:
Budu řešit jen situaci, že počet plátků je sudý, lichý se udělá obdobně. Označme počet plátků [mathjax]n[/mathjax], platí
[mathjax]t=\frac{D_1}{n}[/mathjax].
Počet plátků, které jsou ve tvaru obdélníku:
[mathjax]n_1=2\left\lceil\frac{D_2}{2t}\right\rceil[/mathjax], kde závorky značí zaokrouhlení nahoru.
Plocha těchto řezů:
[mathjax]S_1=n_1\cdot\frac{D_1+D_2}{2}h[/mathjax]
Dále pak počet nelichoběžníkových řezů "na jedné straně" kuželu:
[mathjax]n_2=\frac{n-n_1}{2}[/mathjax].
Dále bude [mathjax]a[/mathjax] značit pořadí řezu od "okraje" kuželu. Pak šířka paraboly, která tvoří [mathjax]a[/mathjax]-tý řez, je (po úpravách z Pythagorovky):
[mathjax]š=\frac{D_1}{n}\sqrt{a(n-a)}[/mathjax].
Výška paraboly (podobnost trojúhelníků):
[mathjax]v=\frac{ath}{D_1-D_2}[/mathjax].
Rovnice konkrétní paraboly je
[mathjax]y=\frac{2n}{D_1(n-a)}x^2[/mathjax]
a
obsah tohoto řezu (nějakej ten integrál):
[mathjax]S_{p_a}=\frac{8a{D_1}^2}{3n^2}\sqrt{a(n-a)}[/mathjax].
Takže plocha všech řezů v porovnání s plochou pizzy je
[mathjax]n_1\cdot\frac{D_1+D_2}{2}h+\frac{16{D_1}^2}{3n^2}\sum_{a=1}^{n_2}a\sqrt{a(n-a)}=\pi\left(\frac{D_3}{2}\right)^2[/mathjax].
Z toho se ovšem [mathjax]n[/mathjax] nedá vyjádřit analyticky, takže nezbývá, než zkusit odhad a ten pak upřesnit, z toho pak dopočítat [mathjax]t[/mathjax].