Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 28. 02. 2021 09:24 — Editoval Zoli7114 (28. 02. 2021 09:33)
2D špirála φ a jej dľžka
základné rovnice:
(φ)^(1)=((2)^(-1))*((5)^(0)+(5)^(0,5))
(φ)^(x+1)=(φ)^(x)+(φ)^(x-1)
parametrický popis v polárnej sústave pre špirálu φ je (pre kreslenie v programe inventor):
r(t)=(φ)^(t/90[ul])
θ(t)=t[deg]
t(min)=0[ul]; t(max)=270[ul]
ak špirálu φ delím na časti (po 90[deg]) a krivku špirály nahradím oblúkom v štvorci, tak viem vyrátať dľžku oblúku, ktorá je podobná dľžke špirály φ.
tento údaj však nie je presný.
žiadam o pomoc, hladám matematickú rovnicu, ktorá popisuje dľžku špirály v tvare:
(dlžka špirály φ) v rozmedzí (-∞;x) = k*(φ)^(x)
hladám konštantu k
ďakujem a vážim si pomoc
obrázky k stiahnutiu: https://ulozto.sk/tamhle/VKO2FZ58ukdA
Offline
#2 28. 02. 2021 14:12 — Editoval laszky (28. 02. 2021 15:55)
Re: 2D špirála φ a jej dľžka
↑ Zoli7114:
Ahoj, mne ta delka pro [mathjax]t\in[t_{\mathrm{min}},t_{\mathrm{max}}][/mathjax] vychazi
[mathjax] {\displaystyle L = \frac{\sqrt{\ln^2a+\pi^2/4}}{\ln a}\left(a^{\frac{t_{\mathrm{max}}}{90^{\circ}}}-a^{\frac{t_{\mathrm{min}}}{90^{\circ}}}\right),\quad \mbox{kde}\ a=\frac{1+\sqrt{5}}{2} } [/mathjax]
V intervalu [mathjax][0^\circ,270^\circ][/mathjax] to dava delku priblizne 11.0479 a ta konstanta [mathjax]k[/mathjax] je rovna priblizne 3.414.
Offline
#3 28. 02. 2021 20:56
Re: 2D špirála φ a jej dľžka
Zdravím a ďakujem za rýchlu odpoveď.
... myslím si, že je to správna odpoveď a rozumiem vašej logike.
v rovnici dľžky je v zátvorke výsledok určitého integrálu a "k" má dva členy.
ku k:
- jeden člen súvisí s pí, ktorý je potrebný k dľžke kružnice a je zaujmavé, že vychádza z pi/2
- druhý člen je ln(φ), ktorý sa objavuje pri derivácii φ, teda vyjadruje závislosť od prvej a druhej derivácie
- a je zujimavé, že k=3,414 priamo určuje dľžku v intervale [90⁰;180⁰] ako aj [-∞;0⁰] a je rovnaká
... zatial sme sa bavili o dľžke 2D špirály φ, ktorá je premetom 3D špirály φ do roviny xy.
viete mi pomôct aj pri výpočte dľžky pre 3D špirálu φ ?
predpokladám,že to bude opäť podobná konštanta.
ďakujem a vážim si pomoc
obrázok k vysvetleniu: https://ulozto.sk/tamhle/ooBNyJAQMhgp
Offline
#4 28. 02. 2021 21:14
#6 06. 03. 2021 14:13
Re: 2D špirála φ a jej dľžka
Zdravím,
parametrizácia 3D krivky špirály mi chvílu trvalo.
2D špirála sa "skladá" zo štvorcov, z ktorých v 3D vznikajú kocky.
Kocky stupajú a krivka prechádza protilahlými vrcholmi.
Vrcholy, body krivky ležia na povrchu kužela.
Z toho vznikla rovnica 3D špirály vo sférickej sústave súradníc.
Popis, rovnice a obrázky prikladám k stiahnutiu tu:
https://uloz.to/tamhle/JxQUmysge5MU
prosím o pomoc pri výpočte dľžky 3D špirály ... ďakujem.
Offline