Matematické Fórum

2M70 · 06. 03. 2021 12:13

Ahojte,

mám zadána 2 kpx. čísla

$\gamma =\alpha +i\beta$ , $z=x+iy$

mezi nimiž je vztah

$\alpha +i\beta=ln\frac{y+i(x+a)}{y+i(x-a)}$

má vyjít

$x=\frac{\alpha .sinh(\alpha )}{cosh(\alpha )-cos(\beta )}$

$y=\frac{\alpha .sin(\beta )}{cosh(\alpha )-cos(\beta )}$

Bohužel jsem zatím moc nepokročil, pouze

$ln\frac{(y+i(x+a))(y-i(x-a))}{y^{2}-x^{2}+a^{2}}=$

$ln\frac{y^{2}-i(x-a)y+i(x+a)y+x^{2}-y^{2}}{y^{2}-x^{2}+a^{2}}=$

$ln(\frac{y^{2}+x^{2}-a^{2}}{y^{2}-x^{2}+a^{2}}+\frac{iy(2a)}{y^{2}-x^{2}+a^{2}})$

a dál už bohužel "no idea" :-(

Dokáže někdo poradit?
Díky!

laszky · 06. 03. 2021 13:39

↑ 2M70:

Ahoj, v tech vyslednych vztazich pro [mathjax]x[/mathjax] a [mathjax]y[/mathjax] chybi [mathjax]a[/mathjax], coz by asi nemelo, ne?

2M70 · 06. 03. 2021 13:42

laszky napsal(a):
↑ 2M70:

Ahoj, v tech vyslednych vztazich pro [mathjax]x[/mathjax] a [mathjax]y[/mathjax] chybi [mathjax]a[/mathjax], coz by asi nemelo, ne?

Máš pravdu, teď na to koukám. Leda že by autor zadání místo $\alpha$ psal omylem $a$ .

Richard Tuček

Pozor: logaritmus v komplexním oboru je víceznačný
ln z =ln(abs(z)*e^(i*arg+2ki pi)=ln(abs(z))+i*arg+2ki pi (k je celé číslo)

exp(a+i b)=(y+i(x+a))/(y+i(x-a))
exp(a+i b)=exp(a)*(cos(b)+i sin(b))

2M70 · 06. 03. 2021 14:16

Richard Tuček napsal(a):
Pozor: logaritmus v komplexním oboru je víceznačný
ln z =ln(abs(z)*e^(i*arg+2ki pi)=ln(abs(z))+i*arg+2ki pi (k je celé číslo)

exp(alfa+i beta)=(y+i(x+a))/(y+i(x-a))

Souhlasím, ale tady se pravděpodobně jedná o hlavní větev logaritmu (Ln z).

2M70 · 06. 03. 2021 14:19

Podle zadání má být ten hlavní vztah definiční pro "bipolární souřadnice v rovině", což ovšem nevím, co je.

laszky · 06. 03. 2021 14:45 — Editoval laszky (06. 03. 2021 14:46)

↑ 2M70:

Ty vztahy podle me mají byt

$x=\frac{{\color{red}a}\cdot\sinh(\alpha )}{\cosh(\alpha )-\cos(\beta )}$

$y=\frac{{\color{red}a}\cdot\sin(\beta )}{\cosh(\alpha )-\cos(\beta )}$

Postupuj obracene. Zkus tyto vztahy dosadit do

$\alpha +i\beta=\ln\frac{y+i(x+a)}{y+i(x-a)}$

nebo jeste lepe do

$\mathrm{e}^{\alpha}(\cos\beta+i\sin\beta)=\frac{y+i(x+a)}{y+i(x-a)}$

a ukazat, ze rovnost plati.

Richard Tuček · 06. 03. 2021 15:08

To není špatný nápad.

2M70 · 06. 03. 2021 15:53

Nějak jsem se do toho zamotal.

Začátek je jasný:

$\frac{\frac{a.\sin \beta }{cosh(\alpha )-\cos \beta }+i(\frac{a.sinh(\alpha )}{cosh\alpha -\cos \beta }+a)}{\frac{a.\sin \beta }{cosh(\alpha )-\cos \beta}+i{(\frac{a.sinh(\alpha )}{cosh\alpha -\cos \beta }-a)}}$

Dál jsem převedl sin, cos, sinh a cosh na exponenciální tvar, ale dostal jsem se nejdál sem:

$\frac{exp(i\beta )-exp(-i\beta )-(exp(\alpha )-exp(-\alpha ) )+((exp(\alpha )+exp(-\alpha )).(exp(i\beta )+exp(-i\beta )}{exp(i\beta )-exp(-i\beta )-((exp(\alpha )-exp(-\alpha ))+((exp(\alpha )+exp(-\alpha )).(exp(i\beta )+exp(-i\beta )}$

Tak přemýšlím, jak to zjednodušit.

Richard Tuček

Také by šlo toto:

e^alfa*(cos beta + i sin beta)*(y + i(x-a))=y+i(x+a)
Levou stranu roznásobit a porovnat reálnou a imaginární část.
Dostaneme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých a řešit přes determinanty

Je to ale zapeklitý příklad.

laszky · 06. 03. 2021 19:53

$\frac{y+i(x+a)}{y+i(x-a)}= \frac{\sin\beta+i(\sinh\alpha+\cosh\alpha-\cos\beta)}{\sin\beta+i(\sinh\alpha-\cosh\alpha+\cos\beta)}=\frac{\sin\beta+i(\mathrm{e}^{\alpha}-\cos\beta)}{\sin\beta+i(-\mathrm{e}^{-\alpha}+\cos\beta)}=\mathrm{e}^{\alpha}(\cos\beta+i\sin\beta),$

protoze

$\bigr(\sin\beta+i(-\mathrm{e}^{-\alpha}+\cos\beta)\bigr) \cdot \mathrm{e}^{\alpha}(\cos\beta+i\sin\beta) \;\; = \;\; \cdots$

Brano · 06. 03. 2021 20:48 — Editoval Brano (06. 03. 2021 21:43)

EDIT: nevsimol som si ze je tam prehodeny vyznam x a y; definujme teda $w=y+ix$

ak $\gamma = \ln\frac{w+ia}{w-ia}$ potom $\frac{w+ia}{w-ia}=e^\gamma$ a teda $w=ia\frac{e^\gamma+1}{e^\gamma-1}$

mozme skusit dosadit trebars $\beta=0$ a dostaneme $w=ia\frac{e^\alpha+1}{e^\alpha-1}$ , cize $y=0$ a $x=a\frac{e^\alpha+1}{e^\alpha-1}$ - wolfram hovori, ze to sedi, takze to len treba nejak dokopat

laszky · 06. 03. 2021 21:31 — Editoval laszky (06. 03. 2021 21:32)

↑ Brano:

Ahoj, pokud uvazujes

$\gamma = \ln\frac{z+ia}{z-ia}$

pak

$z=y+ix.$

Jestlize ti po dosazeni $\beta=0$ vyslo $z=ia\frac{e^\alpha+1}{e^\alpha-1}$ ,

znamena to, ze

$y=0$ a $x=a\frac{e^\alpha+1}{e^\alpha-1}$ (tj. x a y mas prohozene),

coz je v souladu s temi vzorci, nebot

$a\frac{e^\alpha+1}{e^\alpha-1}=a\frac{e^{\alpha/2}+e^{-\alpha/2}}{e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2}}=a\frac{\cosh\frac{\alpha}{2}}{\sinh\frac{\alpha}{2}}=a\frac{2\cosh\frac{\alpha}{2}\sinh\frac{\alpha}{2}}{2\sinh^2\frac{\alpha}{2}}=$
$=a\frac{\sinh\alpha}{\cosh^2\frac{\alpha}{2}+\sinh^2\frac{\alpha}{2}-(\cosh^2\frac{\alpha}{2}-\sinh^2\frac{\alpha}{2})}=a\frac{\sinh\alpha}{\cosh\alpha-1}.$

Brano · 06. 03. 2021 21:45 — Editoval Brano (06. 03. 2021 22:05)

↑ laszky:
ospravedlnujem sa za EDIT - ked som si vsimol chybu, tak som si nevsimol, ze si uz napisal odpoved, nebol by som zmenil prispevok.

teraz nam uz iba chyba dokoncit vseobecny pripad

teda tuto ↑ laszky: to mas overene, ale aj tak by bolo pekne mat vyjadtenie priamym postupom a nie spatnym dosadenim riesenia

Brano · 06. 03. 2021 23:00 — Editoval Brano (06. 03. 2021 23:02)

tak uz mam nejake odvodenie - tak od zaciatku

polozme $w=y+ix$ potom $\gamma = \ln\frac{w+ia}{w-ia}$ , cize $\frac{w+ia}{w-ia}=e^\gamma$ a teda

$w=ia\frac{e^\gamma+1}{e^\gamma-1}=ia\frac{e^\alpha(\cos\beta+i\sin\beta)+1}{e^\alpha(\cos\beta+i\sin\beta)-1}=ia\frac{\cos\beta+i\sin\beta+e^{-\alpha}}{\cos\beta+i\sin\beta-e^{-\alpha}}\left(\cdot \frac{\cos\beta-i\sin\beta-e^{-\alpha}}{\cos\beta-i\sin\beta-e^{-\alpha}}\right)$

po roznasobeni $w=ia\frac{1-e^{-2\alpha}-e^{-\alpha}2i\sin\beta}{1+e^{-2\alpha}-e^{-\alpha}2\cos\beta}\left(\cdot\frac{e^\alpha/2}{e^{\alpha}/2}\right)=a\frac{\sin\beta+i\sinh\alpha}{\cosh\alpha-\cos\beta}$

teda to co sme chceli

2M70 · 07. 03. 2021 01:38

DÍKY VŠEM ZA POMOC !!!

Matematické Fórum

#1 06. 03. 2021 12:13

Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#2 06. 03. 2021 13:39

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#3 06. 03. 2021 13:42

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

laszky napsal(a):

#4 06. 03. 2021 14:13 — Editoval Richard Tuček (06. 03. 2021 14:16)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#5 06. 03. 2021 14:16

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

Richard Tuček napsal(a):

#6 06. 03. 2021 14:19

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#7 06. 03. 2021 14:45 — Editoval laszky (06. 03. 2021 14:46)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#8 06. 03. 2021 15:08

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#9 06. 03. 2021 15:53

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#10 06. 03. 2021 18:47 — Editoval Richard Tuček (06. 03. 2021 18:50)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#11 06. 03. 2021 19:53

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#12 06. 03. 2021 20:48 — Editoval Brano (06. 03. 2021 21:43)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#13 06. 03. 2021 21:31 — Editoval laszky (06. 03. 2021 21:32)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#14 06. 03. 2021 21:45 — Editoval Brano (06. 03. 2021 22:05)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#15 06. 03. 2021 23:00 — Editoval Brano (06. 03. 2021 23:02)

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

#16 07. 03. 2021 01:38

Re: Určení složek komplexního čísla, daného složitým výrazem

Zápatí