Matematické Fórum

Mám příklad, kde si nejsem jistý:

Stereografická projekce -
Ukažte, že pokud je dáno číslo v komplexní rovině, w = u + iv, pak odpovídající bod „x“ na sféře poloměru „R“, je určen jako







Mám jenom „hint“

Podle definice stereografické projekce je bod na sféře odpovídající
číslu u + iv průsečíkem úsečky spojující severní pól [0,0,1] a bod [u,v,0]
se sférou. Úsečka je množina bodů [x,y,z] splňujících x=0+t*u, y=0+t*v, z=1-t,
kde t patří do intervalu [0,1]. Zbývá zjistit, pro jakou hodnotu t úsečka protíná sféru -
pro takovou, aby x^2+y^2+z^2=R^2.

Pokud je bod [x,y,z] na té úsečce, platí
x = 0 + t*u,
y = 0 + t*v,
z = 1 - t

průsečík se sférou musí splňovat
x^2 + y^2 + z^2 = (tu)^2 + (tv)^2 + (1-t)^2 = R^2.

což je kvadratická rovnice s neznámou t
(řešení t je vyjádřeno pomocí u,v,R).
Spočtené t se dosadí do formulí
x = tu, y = tv, z = 1 – t

Když se ale pokouším spočítat, dostanu řešení kvadratické rovnice

t = ,
což je špatně a nevede k cíli.

Dokáže někdo poradit, kde je chyba / chyby?
Předem díky!