Matematické Fórum

Tohle mě zaujalo...
7) Dokažte bez numerických výpočtů, že platí: 3+√2>√19.

Takže když to umocníme, dostaneme

[mathjax](3+\sqrt{2})^2>(\sqrt{19})^2[/mathjax]

[mathjax]9+2+2\cdot3\cdot\sqrt{2}>19[/mathjax]

takže

[mathjax]2\cdot3\cdot\sqrt{2}>8[/mathjax]

[mathjax]3\cdot\sqrt{2}>4[/mathjax]

[mathjax]\sqrt{3\cdot3\cdot 2}>\sqrt{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}[/mathjax]

[mathjax]3\cdot3\cdot 2>2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2[/mathjax]

[mathjax]3\cdot3>2\cdot 2\cdot 2[/mathjax]

[mathjax]9>8[/mathjax]

Což zjevně platí, takže by mělo platit i to původní...

↑ studentka_matiky:

a<b    ...  vydělím celou nerovnici a*b, protože a,b> 0 můžu bez změny, dostanu

a/(a*b) < b/(a*b)  ...tedy po vykrácení

1/b < 1/a

11) Dokažte, že rozdíl druhých mocnin každých dvou za sebou následujících lichých přirozených čísel je dělitelný číslem 8. Rozdíl utvořte tak, že od většího čísla odečtete číslo menší.

Označíme n-té liché číslo l[mathjax]_{n}[/mathjax]=2*n-1. Potom zřejmě l[mathjax]_{n+1}[/mathjax]=2*n+1

Máme dokázat, že [mathjax]l_{n+1}^{2}[/mathjax] - [mathjax]l_{n}^{2}[/mathjax] je dělitelné 8, tedy

[mathjax](2*n+1)^{2}[/mathjax]-[mathjax](2*n-1)^{2}[/mathjax]=4*[mathjax]n^{2}[/mathjax]+4*n+1-4*[mathjax]n^{2}[/mathjax]+4*n-1=8*n

a číslo 8*n je dělitelné 8

Aby to bylo úplně korektní, měli bychom asi dokazovat indukcí, že to platí:
a) pro n=1
b) předpokládat, že platí pro nějaké n, a dokazovat platnost pro n+1

studentka_matiky napsal(a):

↑ osman: Děkuju. Takhle jednoduše jsem nad tím vůbec nepřemýšlela :-), protože to po nás většinou chtějí nepřímo. Obávám se, že i příklad 7, jak ho spočítal MichalAld je vlastně pomocí numerických výpočtů a to v zadání vysloveně stojí, že nechtějí.

To já taky nevím, co jsou to ty "numerické výpočty", předpokládal jsem, že to znamená, že spočítám ty odmocniny (na pár desetiných míst) a porovnám to rovnou.

↑ studentka_matiky:
12)n^5-n^3 = n^3(n^2-1) = (n^3)(n+1)(n-1).
Aby bylo dělitelné 12ti, musí být dělitelné 3mi a 4 mi zároveň.
Důkaz dělitelnosti 3mi: pokud 3|n pak 3|n^3, jakmile dělí jeden činitel výrazu, dělí ho celý. pokud 3|n-1 (n má zbytek 1 po dělení 3mi), 3|(n-1), zase člen součinu. Pokud má n zbytek 2 platí 3|(n+1). Tadá.
Důkaz dělitelnosti 4mi: pro n sudé dělí rovnou n^3, n liché může být zbytek po dělení 4 jedině 1 nebo 3 (jinak by bylo sudé (se zbytkem 2)) pokud má n zbytek 1 4|(n-1) pokud má zbytek 3 4|(n+1). To je celý důkaz.

↑ studentka_matiky:
Ahoj. Důkazy se nenchaučíš tak, že jich hodně přečteš, ale tak, že se nad nimi zamyslíš a pokusíš se je provést sama. Napiš si předpoklady, závěr (např. přepisem definice do tvaru, který daný pojem definuje) a zkus vymsylet jak dojít od předpojkladů k závěrům.
Samozřejmě, když se budeš snažit důkazy chápat, tak čím víc jich přečteš, tím více do toho pronikneš. Ale jen mechanické čtení nemá smysl.

ad 12 a)

mám to chápat tak, že n^4-n^2 je dělitelné 4?

Jedna možnost je: n sudé, tj. n=2k   (2k)^4-(2k)^2=16k^4-4k^2 je zřejmě dělitelné 4
                            n liché  tj. n=2k-1 a počítám  (2k-1)^4-(2k-1)^2

nebo přes kongruence
                                      n ~ 1 (mod 4) tudíž: n^4-n^2 ~ 1-1=0
                                      n ~ 2 (mod 4) tudíž: n^4-n^2 ~ 16-4=12
                                      n ~ 3 (mod 4) tudíž: n^4-n^2 ~ 81-9=72
                případ n ~ 0 (mod 4) je jasný

ad 12 b)  postup je analogický

Zkuste přes kongruence také řešit úlohu 11)

nebo také takto:  (4k+3)^2 - (4k+1)^2
                          (4k+5)^2 - (4k+3)^2