Matematické Fórum

zn · 16. 03. 2021 20:18

Dobrý den, mám dokázat, že kužel [mathjax]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax] je tečný na sféru [mathjax]x^{2}+y^{2}+(z-\frac{b^{2}+c^{2}}{c})^{2}=\frac{b^{2}}{c^{2}}(b^{2}+c^{2)}[/mathjax] v bodě [mathjax][0,\pm b,c][/mathjax].
Domníval jsem se, že budu hledat tečnou rovinu ke sféře pomocí parciálních derivací a uvedeného bodu a to, co mi vyjde, upravím na rovnici kužele. Ale nevychází to. Najdu tečnou rovinu ke kouli, ale je to válcová plocha. To je také asi správně, jen teď nevím, jak na to jinak.
Poradíte, prosím?

laszky · 16. 03. 2021 22:13

↑ zn:

Ahoj, kuzel ma rovnici [mathjax]k(x,y,z)=0,[/mathjax] kde [mathjax]k(x,y,z):=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}[/mathjax].
Tecna rovina kuzele v bode [mathjax][0,b,c][/mathjax] ma rovnici [mathjax](x,y-b,z-c)\cdot\nabla k(0,b,c)=0[/mathjax], nebo-li [mathjax](y-b)\cdot\frac{2}{b}+(z-c)\cdot\frac{-2}{c}=0.[/mathjax]
Sfera ma rovnici [mathjax]s(x,y,z)=0,[/mathjax] kde [mathjax]s(x,y,z):=x^{2}+y^{2}+(z-\frac{b^{2}+c^{2}}{c})^{2}-\frac{b^{2}}{c^{2}}(b^{2}+c^{2}).[/mathjax]
Tecna rovina sfery v bode [mathjax][0,b,c][/mathjax] ma rovnici [mathjax](x,y-b,z-c)\cdot\nabla s(0,b,c)=0[/mathjax], nebo-li [mathjax](y-b)\cdot2b+(z-c)\cdot2\frac{-b^2}{c}=0,[/mathjax] coz je pro [mathjax]b\neq0[/mathjax] stejna rovnice jako u kuzele.

zn · 17. 03. 2021 09:45

Dobrý den, děkuji za odpověď, stále jsem počítal tečnou rovinu sféry a hledal, jak ji upravit na rovnici kužele, nenapadlo mě, že musím udělat i tečnou rovinu kužele. Vyšlo to hezky, ještě jednou děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2021 20:18

Tečný kužel na sféru

#2 16. 03. 2021 22:13

Re: Tečný kužel na sféru

#3 17. 03. 2021 09:45

Re: Tečný kužel na sféru

Zápatí