Matematické Fórum

2M70 · 20. 03. 2021 14:42

Mám komplexní křivkový integrál

$\int_{}^{}\frac{z}{z^{3}+z}dz$

Přes úsečku parametrizovanou

$z = t, t\in (0,R)$

Z definice komplexního křivkového integrálu

$\int_{\varphi }^{}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(\varphi (t)\varphi '(t)dt$

Tedy

$\varphi (t)=\frac{t}{t^3+t}$

$\varphi '(t)=(\frac{t}{t^{3}+t})'=\frac{1.(t^{3}+1)-t.3t^{2}}{(t^{3}+t)^{2}}=\frac{1-2t^{3}}{(t^{3}+t)^{2}}$

By měl být integrand

$\frac{t}{t^3+t} . \frac{1-2t^{3}}{(t^{3}+t)^{2}} = \frac{t\cdot (1-2t^{3})}{(t^{3}+t)^{3}}=\frac{-2t^{4}+t}{(t^{3}+t)^{3}}$

Tudíž integrál

$\int_{0}^{R}\frac{-2t^{4}+t}{(t^{3}+t)^{3}}dt$

A tenhle integrál nezintegruju „ani náhodou“, alespoň myslím – residuovou větu mám „zapovězenou“, „nesmím“ ji použít.

Navíc by ve výsledku nemělo vystupovat „R“.

Dokáže někdo poradit?

MichalAld · 20. 03. 2021 14:49

Nemělo by to být jen $\varphi (t)=t$ ?

2M70 · 20. 03. 2021 14:53

↑ MichalAld:

Právě že ne - konzultoval jsem to a tahle parametrizace byla vyhodnocena jako naprosto chybná. "Byl jsem informován", že sice parametrizace je z = t, ale to "t" se má dosadit do toho funkčního předpisu.

2M70 · 20. 03. 2021 14:55

Konkrétněji - že za takovouto integraci bych v písemce dostal "nula bodů".

MichalAld

2M70 napsal(a):
↑ MichalAld:

Právě že ne - konzultoval jsem to a tahle parametrizace byla vyhodnocena jako naprosto chybná. "Byl jsem informován", že sice parametrizace je z = t, ale to "t" se má dosadit do toho funkčního předpisu.

No ano, ale to je pořád integrál z

$\int_{}^{}\frac{t}{t^{3}+t}dt = \int_{}^{}\frac{1}{t^2+1}dt$

a $φ_{(t)}^{'} = \frac{d z}{d t} = 1$

2M70 · 20. 03. 2021 15:01

POZOR, CHYBA !!!

Ten integrál jsem napsal špatně, má být

$\int_{}^{}\frac{z}{z^{3}+1}dz$

Což asi leccos změní...

MichalAld

Akorát že to nepůjde zkrátit, ale pořád je to jen záměna "z" za "t" a zintegrovat normálně...nevidím důvod, proč by to mělo být jinak...

2M70 · 20. 03. 2021 15:09

Tak ten počítaný integrál se tou chybou moc nezměnil, teď mi vychází

$\int_{0}^{R}\frac{-2t^{4}+t}{(t^{3}+1)^{3}}dt$

Takže skoro žádná změna :-(

MichalAld · 20. 03. 2021 15:17

Hihi ... když už jsi mimo komplexní obor, použij substituci

$x = \frac{t}{t^{3} + 1}$

čímž se zase dostaneš zpátky na tvar

$\int \frac{x}{x^{3} + 1} d x$

což může zároveň sloužit i jako důkaz, že jsi mohl na začátku rovnou použít z=t...

2M70 · 20. 03. 2021 15:33

↑ MichalAld:

Máš pravdu, takhle sofistihovaná substituce mě nenapadla :-)

Došel jsem tedy ke stejnému integrálu (s jinak označenou proměnnou), $\int_{}^{}\frac{x}{x^{3}+1}dx$ , který neumím přímo spočítat, akorát se mi trochu změnila horní mez:

$x=\frac{t}{t^{3}+1},\text{ }t=R \Rightarrow x=\frac{R}{R^{3}+1}$

laszky · 20. 03. 2021 15:47

↑ 2M70:

Ahoj, pouzij parcialni zlomky: $\frac{x}{x^{3} + 1} = \frac{x}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

Ty meze jsou od $0$ do $R$ .

2M70 · 20. 03. 2021 15:50

laszky napsal(a):
↑ 2M70:

Ty meze jsou od $0$ do $R$ .

To je mi divné, že se substitucí nemění integrační meze?

2M70 · 20. 03. 2021 16:00

laszky napsal(a):
↑ 2M70:

Ahoj, pouzij parcialni zlomky: $\frac{x}{x^{3} + 1} = \frac{x}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

Koeficienty mi vycházejí A = 1/3, B = -1/3, C = 2/3, snad je to správně.

laszky · 20. 03. 2021 16:16

↑ 2M70:

Meni. Ale pouzil jsi (zbytecne) dve substituce. $z \to t \to x$

2M70 · 20. 03. 2021 16:21

Vychází mi

$\frac{1}{3}ln(x+1)-\frac{1}{6}ln(x^{2}-x+1)-\frac{1}{\sqrt{3}}arctg\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

Ale z takovéhle "potvory" asi těžko dostanu něco, co vede k cíli.

laszky · 20. 03. 2021 16:35

↑ 2M70:

Mne vychazeji ty koeficienty A=-1/3, B=1/3 a C=1/3.

2M70 · 20. 03. 2021 16:41

↑ laszky:

Vycházel jsem ze soustavy

A + B = 0
-A + B + C = 0
A + C = 1

ale možná jsem někde zvrtal znaménko.

laszky · 20. 03. 2021 16:54

↑ 2M70:

Spravne ma byt

A + B = 0
-A + B + C = 1
A + C = 0

2M70 · 20. 03. 2021 17:26

↑ laszky:

To je mi zvláštní, počítal jsem to tak, že součet koeficientů u x^2 se rovná nule, součet koeficientů u "x" se rovná nule a součet koeficientů u absolutního členu se rovná = 1.

laszky · 20. 03. 2021 17:44 — Editoval laszky (20. 03. 2021 17:44)

↑ 2M70:

Ale v citateli puvodniho zlomku je $0 \cdot x^{2} + 1 \cdot x^{1} + 0 \cdot x^{0}$ .

2M70 · 20. 03. 2021 17:49

↑ laszky:

Aha, už to vidím: má být

$A(x^{2}-x+1)+Bx(x+1)+C(x+1)=x$

2M70 · 21. 03. 2021 18:28

POZOR !!!

Všechno je jinak, integrál se musí spočíat ne přímým postupem, ale pomocí Cauchyovy věty.

2M70 · 23. 03. 2021 12:53

Tak mám „skoro-výsledek“. Některé výsledky jsou v sousedním tématu (nechtěl jsem dávat de facto 2 pířklady do jenoho tématu)

I = $\int_{0}^{\infty}\frac{z}{z^{3}+1}dz$

$I_{1}=I$
$I_{3}=exp(\frac{4}{3}\pi i)\cdot I$

Limita integrálu přes "malou kružnici"

$I_{\varepsilon }=-\frac{2\pi i}{3}exp(\frac{-i\pi }{3})$

Podle Cauchyovy věty
$0 = (1-exp(\frac{4}{3}\pi i)\cdot I-\frac{2\pi i}{3}exp(\frac{-i\pi }{3})$

a odtud

$I=\frac{1}{3}\frac{\frac{2\pi i}{3}exp(\frac{-i\pi }{3})}{1-exp(\frac{4}{3}\pi i}$

avšak netuším, jak z tohoto hnusu vytěžit správný výsledek:

$I=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2021 14:42

Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#2 20. 03. 2021 14:49

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#3 20. 03. 2021 14:53

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#4 20. 03. 2021 14:55

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#5 20. 03. 2021 14:57 — Editoval MichalAld (20. 03. 2021 15:00)

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

2M70 napsal(a):

#6 20. 03. 2021 15:01

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#7 20. 03. 2021 15:04 — Editoval MichalAld (20. 03. 2021 15:13)

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#8 20. 03. 2021 15:09

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#9 20. 03. 2021 15:17

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#10 20. 03. 2021 15:33

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#11 20. 03. 2021 15:47

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#12 20. 03. 2021 15:50

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

laszky napsal(a):

#13 20. 03. 2021 16:00

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

laszky napsal(a):

#14 20. 03. 2021 16:16

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#15 20. 03. 2021 16:21

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#16 20. 03. 2021 16:35

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#17 20. 03. 2021 16:41

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#18 20. 03. 2021 16:54

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#19 20. 03. 2021 17:26

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#20 20. 03. 2021 17:44 — Editoval laszky (20. 03. 2021 17:44)

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#21 20. 03. 2021 17:49

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#22 21. 03. 2021 18:28

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

#23 23. 03. 2021 12:53

Re: Komplexní křivkový integrál, nejde spočítat

Zápatí