Matematické Fórum

žabí hněv

Ahoj,

zabýval jsem se problémem losování lidí do týmů.

Úloha by byla nějak takto:
jaká je pravděpodobnost, že při losování 15ti lidí do 3 skupin po 5ti, vylosuji přesně určité osoby do jedné skupiny?

Řešil jsem to intuitivně podle příznivých jevů, tedy:
a) losuji vždy po 3 lidech
Řekněme, že osoby očísluji a chci v libovolné skupině osoby č.1 až č.5.
A...náhodný jev, kdy v libovélné skupině bude osoba 1-5
$p(A) = \frac{5}{15}\cdot \frac{4}{12}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{3} = \left( \frac{1}{3} \right)^{5}$

b) co když ale všem lidem najednou rozdám číslo skupiny, do které jsou vybráni?

Vyjde to pak stejně? Respektive, jak to počítat?

Děkuji.

Richard Tuček

Já bych na to šel takto:
Mám tedy 5 určitých lidí, které chci vybrat do jedné skupiny
Vyberu náhodně 5 lidí, pravd, že tam budou všichni vyvolení je: (5 nad 5)*(10 nad 0)/(15 nad 5)=pa
Pravd, že tam nebude nikdo vyvolený je: (5 nad 0)*(10 nad 5)/(15 nad 5)=pb

Pak vyberu ze zbývajících 10 lidí opět 5 lidí, pravd, že tam budou všichni vyvolení je:
(5 nad 5)*(5 nad 0)/(10 nad 5)=pc
Pravd, že tam nebude nikdo vyvolený je: (5 nad 0)*(5 nad 5)/(10 nad 5)=pd

celková pravd je: pa+ pb*(pc+pd)

Rozdělil jsem to takto: vyvolení budou buď v 1. skupině, nebo ve 2. skupině nebo ve 3. skupině

Počet všech možností jak rozdělit 15 lidí do 3 skupin po 5 je: 15!/(5!*5!*5!)

nejsem_tonda · 26. 03. 2021 19:19

↑ Richard Tuček:

To se mi zda spravne. Akorat nemuzu souhlasit s posledni vetou (na kterou se zadani neptalo):

Počet všech možností jak rozdělit 15 lidí do 3 skupin po 5 je: 15!/(5!*5!*5!)

Pocet zpusobu, jak rozdelit 15 lidi do 3 skupin po 5 je spis
[mathjax2]\frac{{15 \choose 5}{10 \choose 5} {5 \choose 5}}{3!}[/mathjax2]
protoze nezalezi na poradi vybranych skupin. Zkus si svuj vztah pro 4 lidi, ktere rozdelime na dve dvojice. Tvuj vztah by dal 4!/(2!*2!) = 6, ale pritom jsou jenom tri moznosti: AB & CD, AC & BD, AD & BC.

Jinak tyto uvahy vedou k trochu jinemu reseni (pochopitelne se stejnym vysledkem jako u Richarda). Pocet zpusobu, jak rozdelit 15 lidi do 3 skupin po 5 je teda [mathjax]\frac{{15 \choose 5}{10 \choose 5} {5 \choose 5}}{3!}[/mathjax]. Za priznive pripady muzeme povazovat ty, v nichz je pohromade tech danych pet osob. Ty si dam stranou a pak uz rozdeluju jenom 10 lidi na 2 skupiny po 5, coz jde udelat [mathjax]\frac{{10 \choose 5} {5 \choose 5}}{2!}[/mathjax] zpusoby. Timto postupem dostaneme pravdepodobnost ve tvaru
[mathjax2]\frac{\frac{{10 \choose 5} {5 \choose 5}}{2!}}{\frac{{15 \choose 5}{10 \choose 5} {5 \choose 5}}{3!}}=\frac{3}{{15 \choose 5}}[/mathjax2]
Mimochodem ciselne to je velmi pekny vysledek :)

Richard Tuček · 27. 03. 2021 12:55

Máte pravdu

Ten vztah platí, pokud na pořadí skupin záleží.
Pokud ne, musíme to dělit faktoriálem počtu skupin.

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2021 19:09 — Editoval žabí hněv (22. 03. 2021 19:10)

Pravděpodobnost-házení lístků do osudí Vs losování lidí

#2 25. 03. 2021 14:29 — Editoval Richard Tuček (25. 03. 2021 14:40)

Re: Pravděpodobnost-házení lístků do osudí Vs losování lidí

#3 26. 03. 2021 19:19

Re: Pravděpodobnost-házení lístků do osudí Vs losování lidí

#4 27. 03. 2021 12:55

Re: Pravděpodobnost-házení lístků do osudí Vs losování lidí

Zápatí