Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 29. 03. 2021 14:28
Parametrické vyjádření těžnic v trojúhelníku
a) zapište parametrické rovnice přímek na nichž leží těžnice trojúhelníku ABC
b) zapiš parametrické rovnice těžnic troúhelníku ABC
A[ -2;1]
B [-1;-2 ]
C [3;4 ]
za b) povedla se mi povedla udělat rovnice těžnice ta, pomocí SBC ((B1+C1)/2; (B2;C2)/2) a poté jsem vypočítala A-SBC a to mi vyšlo (3;-1) x=-2+3t; y=2-t , když jsem chtěla aplikovat stejný postup i u dalších těžnic tak mi to nevychází podle výsledku tb x= -1+3r; y=-2+10r a tc: x=3+9s y=4+8s
Střed AB mi vyšel (-3/2;0); Střed AC mi vyšel (-1,5;1). Když jsem to chtěla počítat podle výše uvedeného postupu, tak mi to nevychází.
Ohledně části a), dle mého část a) bude stejná jako část b)
Prosím, nevíte někdo, jak na to? Děkuji moc
Offline
#2 29. 03. 2021 15:24
Re: Parametrické vyjádření těžnic v trojúhelníku
↑ Plonik13:
Střed AB leží na [-3/2; -1/2], střed AC na [1/2; 5/2] a střed BC [1; 1].
Jestliže jde jedna z těžnic z bodu A [-2; 1] do SBC [1; 1], stačí vzít směový vektor zadaný jako rozdíl těchto bodů:
[mathjax]\vec{u}=\overrightarrow{AS_{BC}} = S_{BC} - A = (3; 0)[/mathjax]
Potom stačí vzít ten bod, ze kterého vycházíš (A) a posunout jej o nějaký násobek vektoru u:
[mathjax]x = -2+3t[/mathjax]
[mathjax]y = 1[/mathjax]
kde [mathjax]t\in\langle0; 1\rangle[/mathjax].
Podobný postup i pro ostatní těžnice.
Část a) bude stejná jako b), akorát s tím rozdílem, že parametr t náleží celému [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax] .
Offline
#4 29. 03. 2021 17:35
Re: Parametrické vyjádření těžnic v trojúhelníku
↑ Plonik13:
A leží na [-2; 1], B na [-1; -2].
Po dosazení pro vzorce pro střed dostaneš:
[mathjax]S_{AB} = [\frac{A_1 + B_1}{2}; \frac{A_2 + B_2}{2}] = [\frac{-2 - 1}{2}; \frac{1 - 2}{2}] = [-\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}][/mathjax]
Offline
#7 29. 03. 2021 17:58
Re: Parametrické vyjádření těžnic v trojúhelníku
↑ Plonik13:
Takže počítáme třeba těžnici jdoucí z bodu C [3; 4] do bodu SAB [-3/2; 0].
Vektor, který jde z C do SAB je: [mathjax]\vec{u} = S_{AB} - C = (-\frac92; -4)[/mathjax].
Bod C posouváme o s-násobek vektoru u a dostaneme:
[mathjax]x=3-\frac{9}{2}s[/mathjax]
[mathjax]y=4-4s[/mathjax]
kde [mathjax]s \in \langle0; 1\rangle[/mathjax].
Ve výsledcích mají tu těžnici zadanou tak, že [mathjax]s \in \langle0; \frac12\rangle[/mathjax] - oboje je správně.
Offline
#9 29. 03. 2021 18:32
Re: Parametrické vyjádření těžnic v trojúhelníku
↑ Plonik13:
Pokud se jedná o přímku, pak si ten vektor můžeš natáhnout jak chceš (vektor se natahuje násobením číslem). Potom může být s libovolné reálné číslo.
Pokud ale počítáme úsečku, musíme ten vektor nějak omezit. Když bod C posuneme o 0-násobek vektoru u (tj. o nulový vektor), jeho poloha se nijak nezmění. Pokud jej posuneme o 1-násobek u, dostaneme se do bodu SAB. Body C a SAB jsou ovšem krajní body této úsečky, a proto už vektor u nemůžeme násobit číslem větším než 1 nebo menším než nula.
Offline
#11 29. 03. 2021 19:02
Re: Parametrické vyjádření těžnic v trojúhelníku
↑ Plonik13:
Střed AC je [1/2; 3].
Vektor jdoucí z B do SAC má souřadnice SAC - B = (3/2; 5).
x = -1 + 3/2 t
y = -2 + 5t
Těžnice tb jde z bodu B do bodu SAC, tzn. v bodě B začne a v SAC se zastaví.
Bod B dostaneš tak, že bod B posuneš o 0-násobek vektoru (3/2; 5) a bod SAC tak, že bod B posuneš o 1-násobek tohoto vektoru.
Do této úsečky patří body B, SAC a všechno mezi nimi. Interval tedy opět bude od 0 do 1.
Offline