#1 26. 03. 2021 12:34
teorie čísel dělitelnost
Dobrý den, narazil jsem na příklad který nevím jak vyřešit a tak se sem obracím pro pomoc.
Najdi všechny dvojice přirozených čísel x, y takové, že
[mathjax]x+y+1\mid 2xy[/mathjax]
[mathjax]x+y-1\mid x^{2}+y^{2}-1[/mathjax]
Offline
#2 26. 03. 2021 14:01
Re: teorie čísel dělitelnost
↑ Pozitron:
Ahoj, zkus vyuzit toho, ze
[mathjax]{\displaystyle x^2+y^2-1 \; =\; (x^2+2xy+y^2)-1-2xy \;=\; (x+y)^2-1^2-2xy \;=\; (x+y+1)(x+y-1)-2xy.}[/mathjax]
Offline
#3 28. 03. 2021 05:22 — Editoval Pozitron (28. 03. 2021 05:39)
Re: teorie čísel dělitelnost
↑ laszky:
napadlo mě todle, ale pořád nevím jak to vyřešit.
řekněme třeba že [mathjax]x\ge y[/mathjax]
takže by mělo platit i [mathjax]x+y-1\mid 2xy[/mathjax]
[mathjax]\frac{x+y+1}{x+y-1}=1+\frac{2}{x+y-1}[/mathjax]
a z toho bych vyzkoušel možnosti x=1 y=1, x=2 y=1
pro všechny ostatní možnosti jsou výrazy [mathjax]x+y-1\nmid x+y+1[/mathjax] a zároveň jsou nesoudělné
ale nevím jestli jdu správným směrem a ani jak dál pokračovat, napadalo mě jen todle, ale přijde mi to špatně
[mathjax]a(x+y+1)(x+y-1)=2xy=a(x^{2}+y^{2}+2xy-1)[/mathjax]
x**2+y**2 je větší než 1 takže todle nemůže nastat
Offline
#4 28. 03. 2021 13:34
Re: teorie čísel dělitelnost
↑ Pozitron:
Ahoj. Zjisti, jakých hodnot muze nabývat vyraz
[mathjax]{\displaystyle \frac{2xy}{x+y-1}-\frac{2xy}{x+y+1}.}[/mathjax]
Navod: Preved na spolecneho jmenovatele a odhadni vysledek shora pomoci AG-nerovnosti.
Offline
#5 29. 03. 2021 12:33 — Editoval Pozitron (29. 03. 2021 16:53)
Re: teorie čísel dělitelnost
↑ laszky:
takže mi vyjde [mathjax]\frac{4xy}{x^{2}+y^{2}+2xy-1}[/mathjax] a to musí být celé číslo
při odhadu zhora [mathjax]x^{2}+y^{2}\ge 2xy[/mathjax]
a dostanem[mathjax]\frac{2(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}+2xy-1}[/mathjax] a to je menší nebo rovno než 2, takže vyzkouším hodnoty [mathjax]\frac{4xy}{x^{2}+y^{2}+2xy-1}[/mathjax] se rovná jedna a dva?
Offline
#6 29. 03. 2021 12:51 — Editoval laszky (29. 03. 2021 12:59)
Re: teorie čísel dělitelnost
↑ Pozitron:↑ Pozitron:
Jde to jeste o trochu lepe:
[mathjax]{\displaystyle 0 < \frac{2xy}{x+y-1} - \frac {2xy}{x+y+1} = \frac{4xy}{(x+y)^2-1}\leq \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2-1}\leq \frac{4}{3}}[/mathjax]
Offline
#8 29. 03. 2021 19:34
Re: teorie čísel dělitelnost
↑ Pozitron:
Myslim, ze se jmenuji presne tak, jak jsi tema pojmenoval.
Offline