Matematické Fórum

Jinak pokud jde o samotné "kyvadlo v kartézských souřadnicích" ... ony ty zobecněné souřadnice se nepoužívají jen tak pro nic za nic. Ale samozřejmě, lze to počítat i bez nich, dokonce to na první pohled vypadá jednodušeji. Prostě

[mathjax]m\vec{X}''=\vec{F}=\vec{F}_G + \vec{F}_V[/mathjax]

Samozřejmě se to musí rozepsat do složek. Fg je gravitační síla, to je snadné, Fgx=0, Fgy=mg

Jediný problém je určit velikost vazebné síly Fv tak, aby bod vykonával požadovaný pohyb po kružnici. Čímž se ovšem dostáváme k analytické mechanice, a zjistíme, že to není zas až tak jednoduché, jak by mohlo na první pohled vypadat.

Víme samozřejmě, že bod se musí pohybovat po kružnici, tedy jeho poloha musí splňovat vztah

[mathjax]x^2+y^2=r^2[/mathjax]

což můžeme napsat také jako

[mathjax]\vec{X} \cdot\vec{X}=r^2[/mathjax]

Jenže to nám k určení vazebních sil ještě nestačí. Protože vazebná síla má dvě složky Fvx a Fvy, a k tomu bychom potřebovali 2 rovnice.

No, teď už se dostávám do oblasti, kde jsi nejsem úplně jistý, nakolik správně tomu vlastně rozumím. Takže nic co napíšu dál (a možná ani nic co padlo dosud) nemusí být úplně pravda. Ale ... no, musí se použít tzv. d'Alembertův princip, který říká, že vazebné síly nekonají práci. Tedy, že

[mathjax]\vec{F} \cdot\vec{ds}=0[/mathjax]

tedy

[mathjax]\vec{F_v} \cdot \vec{v} \cdot dt=0[/mathjax]

což může být splněno jen tehdy, když

[mathjax]\vec{F_v} \cdot \vec{v} =0[/mathjax]

To máme dvě rovnice, ze kterých už bychom složky vazebné síly měli dokázat vyjádřit - jako funkci polohy a rychlosti. Zkoušel jsem to nějak udělat, ale vychází mi to dost složitě, a navíc si nejsem úplně jistý, jestli se do toho nemusí nějak zamontovat i ta gravitační síla...takže to sem raději ani psát nebudu.

Obecně se tento přístup nazývá Lagrangeovy rovnice I. druhu. Ale na české wiki o tom moc teda není.

Jestli tomu rozumím správně, tak z d'Alembertova principu plyne, že vazebné síly musí být kolmé na tu vazbu, a tudíž máme li vazbu popsanou funkcí

[mathjax]\phi(r)=0[/mathjax]

tak vazební síly určíme jako gradient této funkce, tedy

[mathjax]\vec{F_V}=\lambda \nabla\phi(r)[/mathjax]

Je tam ta [mathjax]\lambda[/mathjax] kterou musíme v rámci řešení určit taky, protože to že má být vazebná síla kolmá ještě neurčuje její velikost, jen směr. Takže obecně je třeba řešit soustavu

[mathjax]m\vec{X}''=\vec{F}_G + \lambda \nabla \phi(\vec{X})[/mathjax]
[mathjax]\phi(\vec{X})=0[/mathjax]

Já samozřejmě úplně nevím, jak by se tohle mělo numericky řešit. Soustava dif. rovnic se numericky řeší tak, že pomocí vhodné metody (jako třeba Eulerovy, nebo Runge-Kuttovy) převede na rekurentní výraz

[mathjax]\vec{X}_{n+1}=f(\vec{X}_{n})[/mathjax]

Tady nám ovšem výsledek závisí i na tom lambda, tedy

[mathjax]\vec{X}_{n+1}=f(\vec{X}_{n}, \lambda)[/mathjax]

a musíme ho najít takové, aby nám platila vazbová podmínka
[mathjax]\phi(\vec{X}_{n+1})=0[/mathjax]

Víc ti asi neporadím, já tomuhle úplně nerozumím, nikdy jsem nic takového neřešil.