Matematické Fórum

Ahoj,
na kámen bude působit síla [mathjax]F=mK[/mathjax], kde [mathjax]K[/mathjax] ... intenzita gravitačního pole. Ta se mění podle vzdálenosti od středu Země.
Potom bych sestavil pohybovou rovnici kamene a porovnal ji s rovnicí harmonických kmitů.

Pokud věříme tomu, co napsal ↑ Jj: (není to zas tak úplně jednoduché dokázat, a obávám se, že bez vektorové analýzy to ani nejde), tak už je to jednoduché. Protože objem koule (a tedy i její hmotnost) roste se třetí mocninou vzdálenosti od středu, a gravitační síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti od středu, tak z toho plyne, že gravitační síla lineárně roste se vzdáleností od středu. A na povrchu země dosahuje známé hodnoty g=10m/s^2.

Nic víc už nepotřebujeme, z Newtonova zákona máme, že

[mathjax]ma=F_g[/mathjax]

[mathjax]mh''=-mgh/R_z[/mathjax]

tedy (a po vykrácení m)

[mathjax]h''+\frac{g}{R_z}h=0[/mathjax]

To je rovnice harmonického oscilátoru, a pokud ji známe, tak i bez jejího řešení už víme, jaká bude úhlová frekvence, a tedy i perioda. Takže víme i to, že doba pádu z povrchu Země do středu je čtvrtina periody...

Jediné co není na první pohled zřejmé je kde se vzalo u síly to znaménko minus. Takže buďto to odvodíme z toho, že síla má opačný směr než je směr nárustu toho "h" - tedy výšky, vzdálenosti od středu...a nebo (což je asi mnohem jistější způsob) prostě víme, že v rovnici harmonického kmitání musí být znaménko plus, protože jinak by to vedlo na nestabilní exponenciálu (v čase narůstající až k nekonečnu) - což je z fyzikálního hlediska nemožné.