Matematické Fórum

↑ marnes: no jo, ale já  asi hledám středový tvar :-)

[mathjax](x-m)^{2}/a^{2}-(y-n)^{2}/b^{2}=1[/mathjax]

celý ten příklad je o tom, že mám napsat rovnici tečny v daném bodě (2,4) a ověřit, že mají jen tenhle společný bod...

tak mám pocit, že se bez toho středového tvaru nehnu...

↑ marnes: pořád jsem byla v naději, že pokud je to hyperbola, tak ten středový tvar z toho prostě nějak dostat půjde. :-/

↑ marnes: dá se k tomu, vzhledem k zadání, přistoupit i jinak - tj. určit rovnici přímky, když znám společný bod, jinak než derivací?

↑ marnes: jsem na individuálu ze zdravotních důvodů, takže ano, přistál.
materiály, které mám k dispozici ze školy, jsou hodně skromné. vzorové příklady skoro žádné. jedu podle realisticky a zadanou sadu příkladů zvládnu většinou podle realisticky, ale tento jediný tam není a vymyká se tím, že nejde převést na středový tvar.

↑ marnes:to je v pohodě, s tím se poperu, na derivaci jsou kalkulačky a dle popsaného postupu to dám. vypočtu směrnici přímky - s tou pracovat umím.

Ale derivace jsme nebrali, koukám, že by se to mělo dělat až ve čtvrťáku, proto se divím, že by se po mně chtělo řešení zahrnující tenhle postup.

Říkám si, že by to mělo jít jinak.

A tak nějak se fakt nemůžu smířit s tím, že by tenhle tvar nešel převést na ten středový :-D

↑ zdenek1: a nebudu mít v tu chvíli rovnici o třech neznámých (x, a, b), tj. něco, co se nedá řešit?

↑ Cheop: koukám na to, ale ještě mi nějaký článek chybí, abych pochopila ten první krok - dosazení bodu dotyku do rovnice tečny.

při dosazení souřadnic (2,4) do rovnice přímky y=ax+b bych měla dostat 4=a.2+b, takže ještě něco pořád nepobírám. nemůžeš mě prosím navést?

↑ Cheop:  <3 díky moc, jdu si to spočítat.

↑ Cheop:

ahoj, stejně se k tomu nemůžu dobrat.
dostanu se na kvadratickou rovnici [mathjax]ax^{2}+5ax-6a-6x+12=0[/mathjax]
z toho pak třeba [mathjax]a.(x^{2}+5x-6)-6x+12=0[/mathjax]

z toho mi vyjde že je rovnice řešitelná jen pro a=0 (pak je x = 2), ale to jsem asi jinde, než mám být.

takže se vrátím k původní myšlence, že je třeba nechat tu rovnici, jak je, a položit D=0.
Jak z toho poskládat ty členy do diskriminantu?

Co je tady ve vzorci pro diskrimant "a", "b" a "c"? a = a? b = (5a-6)? c = (-6a+12)?
z [mathjax]D=(5a-6)^{2}-4.a*(-6a+12)[/mathjax] vyjdou divný čísla... :-/

↑ Cheop:jo, já tam někde zpřeházela znamínka. tak znova.

Lebo každá priamka y=ax-2a+4 prechádza bodom (2,4)
Teda dosadenie x=2 do ti len povie, že 4=4 čo je zrejmé aj bez dosadenia

kristynak napsal(a):

↑ marnes: pořád jsem byla v naději, že pokud je to hyperbola, tak ten středový tvar z toho prostě nějak dostat půjde. :-/

Ono už to tady zaznělo, ale já to klidně ještě zopakuji. Oni vám totiž ve škole nejspíš zatajili jednu věc ... že ta obecná rovnice hyperboly, jak se jí učíte (nebo ta v tom středovém tvaru) nezahrnuje všechny hyperboly co existují. Obnáší jen hyperboly jejichž osa je rovnoběžná s jednou ze souřadných os (buď je hperbola podél x, nebo podél y).

Ale existují i hyperboly různě natočené ... a abychom je dokázali popsat, museli bychom do rovnice doplnit ještě tzv. smíšený člen, tedy x*y. A tomu se, pokud vím, ve škole vyhývají jak čert kříži. Jediná výjimka je ta rovnoosá hyperbola, jejíž rovnice je speciálně jednoduchá, tedy x*y = c.

Natočenou hyperbolu pochopitelně nelze jednoduše převést na středový tvar (ani na žádný jiný, který by neobsahoval smíšený člen x*y). Ale co udělat lze je, že si natočíme souřadný systém - tedy namísto x,y si zavedeme jiné osy x', y', které budou vůči předchozímu systému pootočené ... tak, aby odpovídaly osám té hyperboly. A v těchto nových souřadnicích nám smíšený člen zmizí a tím pádem můžeme napsat středový tvar.


Nají, jak správně natočit souřadný systém není úplně triviální úkol (proto se to asi na středních školách nedělá), ale v tomhle případě je to jednoduché, protože víme, že rovnoosá hyperbola je natočená přesně o 45° ... takže když o tolik otočíme nové osy, jsme hotovi.


Nový souřadný systém tedy získáme ze starého takto:
[mathjax]x'=(x+y)/\sqrt{2}[/mathjax]
[mathjax]y'=(x-y)/\sqrt{2}[/mathjax]

Nám se bude víc hodit inverzní tvar, tedy
[mathjax]x=(x'-y')/\sqrt{2}[/mathjax]
[mathjax]y=(x'+y')/\sqrt{2}[/mathjax]

(je možné, že tam mám nějakou drobnou chybu s těmi znaménky, nechce se mi to teď moc promýšlet, ale to je jedno). Když tohle dosadíš do své rovnice
[mathjax](x-3)(y+2)=-6[/mathjax]
tedy
[mathjax](\frac{x'}{\sqrt{2}}-\frac{y'}{\sqrt{2}}-3)(\frac{x'}{\sqrt{2}}+\frac{y'}{\sqrt{2}}+2)=-6[/mathjax]
tak uvidíš, že smíšené členy se navzájem odečtou a zmizí. Pak to už můžeš převést na svůj vysněný středový tvar - akorát je to prostě v jiných souřadnicích. Pak tam v principu můžeš zase dosadit za x' a y', a dostaneš rovnici, co zmínil lazsky.