Matematické Fórum

zdenek1 napsal(a):

Když se podíváš na odvození ZZE, tak zjistíš, že se jedná o energetickou bilanci JEDNOHO tělesa.

Díky za rychlou reakci.

Máš na mysli "moje" odvození ZZE?
Četl jsi mou EDITaci prvního příspěvku? Tam jsem si všiml, že jsem zanedbal práci, kterou je potřeba vykonat na natlačení koule blíž ke středu.

zdenek1 napsal(a):

No a teď si polož otázku. "Je v příkladu jedno těleso, nebou je to soustava?"

No řekl bych, že smysl má uvažovat celou soustavu těles, která na sebe působí - tedy kouli, tyčku na motovidle, a třeba zeměkouli na které je motovidlo upevněno.
Pokud by zeměkoule s motovidlem měly zanedbatelnou hmotnost ve vztahu ke kouli, tak se ta situace odehraje jinak než si představuju - koule by kruhový pohyb neopisovala, ale motovidlo i se zeměkoulí by odnesla někam do prčic a motovidlo by rotovalo kolem koule.
Takže mi připadá, že jsem tu přednesl spíš sérii úloh, ačkoli jsem si představoval situaci s velmi hmotnou zeměkoulí.
Přitom si nedokážu představit, v čem se oproti řešení obecnému zjednoduší řešení pro zeměkouli s velkou hmotností.

Teď jsem trochu specifikoval pocity, které jsem měl když jsem psal "Mám podezření, že celá akce bude mít nějaký vliv na těleso, ke kterému je připevněna osa otáčení, a tento vliv v mých úvahách někde chybí". Ale nerozumím tomu pořád stejně jako po prvním příspěvku.

Uvědomil jsem si, že jsem si úvahy zkomplikoval tím, že jsem přidal fázi příletu a odletu koule. To bylo úplně zbytečné.

edison napsal(a):

Nakonec sis vlastně sám odpověděl:

krax napsal(a):

Napadlo mě, že k "uvedení koule na nižší orbitu" je třeba vykonat práci - působit proti odstředivé síle

Zkusím to přepočítat, jestli to takto vyjde.

edison napsal(a):

K případnému dalšímu studiu doporučuji odvození Coriolisovy síly.

Přijde mi, že umístěním pozorovatele do neinerciální soustavy věc zbytečně zkomplikuju. Co má být přínosem?

U toho cyklisty záleží na tom, jestli bude šlapat nebo ne. Rychlost se mění, pokud se někudy energie přidává, nebo ubírá. Pokud předpokládáme, že jeho hmotnost je zanedbatelná vůči podložce, můžeme její vliv taky zanedbat.

↑ krax:Tady mi vůbec nešlo o nějaké soustavy, ale čistě o to, že vznik této síly souvisí s tvým problémem a že o CS je toho napsáno hodně a dá se to snadno najít:-)

↑ krax:
Ale zrychlí. Musí otočit řidítky, a tím pádem dělá práci. Poloměr zatáčky se "jen tak sám od sebe" nezmenší.

↑ zdenek1:
Ano, musí točit řídítky a k tomu se víc naklonit do zatáčky. Ale...
- opravdu cyklista zrychlí 4x při přechodu z poloměru 200m na 50m? To by odpovídalo ZZMH.
- energie se musí vkládat do řídítek a na změnu náklonu i při zvětšení poloměru zatáčky. I tím se zvyšuje rychlost? Podle ZZHM by zvětšení poloměru naopak mělo vést ke snížení rychlosti a energie by se měla uvolňovat, ne?

Obecně, to že někam dodám energii nutně neznamená, že bude použita právě na zvýšení kinetické energie.

edison napsal(a):

Tak to zkusme dále zjednodušit: Vlak na kolejích

Dobrá připomínka. Dojde snad ke změně rychlosti při změně poloměru?

↑ edison:
To odpovídá tomu co jsem psal tady:

krax napsal(a):

Napadá mě snad jedině toto vysvětlení: Součástí soustavy je i zeměkoule nebo třeba deska plující v prostoru po které cyklista jede

Ale nerozumím, jaké vztahy by tam platily.

edison napsal(a):

U toho cyklisty ... Pokud předpokládáme, že jeho hmotnost je zanedbatelná vůči podložce, můžeme její vliv taky zanedbat.

To se mi nezdá. U hmotné zeměkoule jako podložky předpokládám, že vlak/cyklista způsobí zeměkoli miniaturní pohyb, v případě lehčí podložky pod vlakem/cyklistou dojde k většímu pohybu podložky..

Taky jsem nad tím chvíli přemýšlel, protože ono to není tak úplně triviální, jak by mohlo vypadat...

Obecně platí, že jak celková energie, tak celková hybnost, tak celkový moment hybnosti se musí zachovávat. O tom nemůže být sporu.

S energií je to ovšem trochu ošemetné - energie je skalár, a díky tomu je jí možné v systému "schovat" - pokud energii rozptýlíme mezi jednotlivé částice (atomy) co se pohybují náhodným směrem, tak ji na pohybovém stavu prostě neuvidíme. A to je přesně to, co se stává třeba při nepružných srážkách - že se část energie "ztratí" - rozptýlí, změní na teplo. Na to si musíme dávat pozor.

S hybností se nám tohle stát nemůže. Hybnost je vektor a díky tomu ji není možné takto schovat. Moment hybnosti taky né. Z tohoto úhlu pohledu jsou zákony zachování hybnosti a momentu hybnosti "silnější" fyzikální principy.

Další věc, na kterou si musíme dávat pozor je existence nějakých "těžkých věcí", jako třeba Země. Protože ty zase mohou přebírat hybnost (i moment) a přitom se to na nich nijak znatelně neprojeví. Pokud odpálím tenisovou raketou míček a udělím mu tím hybnost p, stejnou hybnost (opačného směru) získala i Země. Akorát že to na ní není moc poznat, na její rychlosti se to téměř neprojeví. Ale hybnost získala. To je trochu zrada - a musíme si na to dávat pozor taky.


Abychom se vyhnuli těmto "pevným tělesům", můžeme si úlohu s letící kuličkou narafičit trochu sofistikovaněji - že letí dvě kuličky proti sobě. Neletí po stejné ose, jejich osy letu jsou od sebe třeba 1 metr ... a letí samozřejmě stejnou rychlostí. Takže celková jejich hybnost je nulová, ale mají nenulový moment hybnosti. A samozřejmě nějakou energii mv^2.

A pak máme tu nehmotnou tyčku, která když se koule míjejí, tak se na ně přichytí a začnou kolem sebe obíhat. Díky tomu, že je celá situace symetrická, nemusí být tyčka na ničem připevněná, nepotřebujeme žádnou Zemi, a nemusíme se starat o to, že by přebírala nějakou hybnost či moment.

Soustava kuliček má moment hybnosti m*v*r, a ten se prostě MUSÍ zachovávat, ať už s kuličkami uděláme cokoliv. Z toho plyne, že pokud nám kolo opustí tak, že jejich osy budou od sebe na poloviční vzdálenosti, musí mít dvojnásobnou rychlost - jedno, jak toho dosáhneme. Z toho samozřejmě plyne, že musejí mít větší energii.

Pokud se tedy během letu zaháknou na tu tyčku, a začnou obíhat ... zde je taky ještě jedna věc k zamyšlení. Na tyčku se musí zaháknout když je tyčka kolmo na směr jejich letu. Kdyby to bylo jinak ... no, k tomu se dostaneme později.

Pokud tu spojovací tyčku začneme zkracovat, v rámci zachování momentu hybnosti se musí zvyšovat rychlost těch kuliček. A to znamená zvyšovat energii systému. Ta energie se musí někde brát ... a je to samozřejmě práce potřebná ke zkrácení té tyčky.

Zde se můžeme zase zamyslet - jak se ta síla vlastně přemění na tu rychlost. No a má to jediné řešení ... pokud by se tyčka nezkracovala, síla působí přesně kolmo na směr letu koulí .. a nekoná tudíž žádnou práci. Ve chvíli ovšem, kdy se tyčka zkracuje, působí část síly i ve směru pohybu (protože kuličky už neleží přesně kolmo na směr síly, to by musely obíhat po kruhu, když se blíží ke středu tak už to kolmo není) - a tahle složka síly - působící ve směru letu - právě způsobí jejich urychlování.

Když se nad tím člověk zamyslí, tak ten zákon zachování momentu hybnosti je docela mocným fyzikálním principem - že rychlost kuliček po "srážce" závisí na tom, jak budou jejich dráhy daleko od sebe, a na ničem jiném ... to je dost neintuitivní výsledek...

U sestavy dvou kuliček zákon zachování hybnosti říká jen, že celková jejich hybnost musí zůstat stejná (tedy nulová). Nezakazuje aby kuličky změnily rychlost, pokud jí změní obě stejně. Takže pokud by letěly po stejné ose, může se část jejich energie při srážce rozptýlit, a mohou se odrazit s menší rychlostí (protože moment hybnosti je v takové situaci vždy nulový). Pokud ovšem osy jejich letu totožné nejsou ... tak něco takového prostě není možné...a možnosti, jak může dopadnout jejich srážka nám to dost znatelně limituje...(aspoň teda myslím, že to tak je).

On je ten moment hybnosti docela mocná veličina ... akorát že se s tím člověk v běžné fyzice tak úplně často nesetkává - a když už, tak pro nějaké rotující pevné těleso, a né pro sestavu volně letících bodů. Přitom pro jednotlivé body to lze použít úplně stejně ... a pokud moment hybnosti určujeme vzhledem k těžišťové soustavě (tj takové, kde je celková hybnost částic nulová) tak je nejspíš jedno, ke kterému bodu jej vztahujeme.

A pokud soustava neobsahuje žádná "nadpřirozená pole" jako třeba elektromagnetické, ale jen síly Newtonovského typu - které mezi dvěma částicemi působí ve směru jejich spojnice, tak se tenhle moment hybnosti musí zachovávat, ať už spolu částice dělají co chtějí.

Taky je dobré myslet na to, že poloměr zatáčky může být do značné míry relativní, viz ↑ edison:

↑ edison:
Poloměr není relativní ... akorát se může měnit. A vazbové síly nekonají práci, takže k urychlení nemůže dojít. Akorát mu země sebere nebo dodá část momentu  hybnosti ... protože když se míček valí po spirále (namísto po kruhu) působí na spirálu nenulovým momentem ... protože ta síla, kterou působí spirála na míček nemíří přesně ke středu té spirály ... to by bylo u kružnice. U spirály je trochu víc zešikma. A tenhle moment nám spirálu roztáčí (roztáčí zemi).

Pokud je spirála spojená se zemí , sebere míčku jen málo energie (téměř žádnou). Ale moment hybnosti mu sebere vždycky stejný, to na hmotnosti země nezáleží.

Jasný, prostě jde o to, že když chceme takový přechod uskutečnit, musíme někde získta/ztratit potřebný moment hybnosti. Jinak to prostě nedáme... na Zemi můžeme libovolné množství momentu hybnosti ukládat do Země, nebo si ho zase brát a nikdo si toho ani nevšimne.

Ale třeba u družic co Zemi obíhají ... tam takto moment získat/ztratit nemůžeme, gravitační síla působí do středu Země ... a moment nám nevyrobí. Naopak - při pohybu v gravitačním poli Země se  moment zachovává (i u těch eliptických drah).

Takže pokud chce raketa přejtí na vyšší (nebo nižší) orbitu, musí nějaký ten moment zahodit ve formě paliva tryskajícího z motoru...zatímco na oběh po kruhové dráze nic takového nepotřebuje.

edison napsal(a):

Samozřejmě, čím je podložka lehčí, tím víc to s ní pohne, ale proč si to tím komplikovat, když je zeměkoule fakt hodně těžká?

No protože jedině ta zeměkoule vysvětluje kam se poděla část momentu hybnosti.

Na zbytek nových příspěvků si budu asi muset vzít dovolenou :)
A musím ještě jednou poděkovat tomuto fóru, které mi ukázalo jak může být přemýšlení o fyzice zajímavé.