Matematické Fórum

Podle mě je to tak, že když je matice A regulární (det(A) není nula) tak má jen to triviální řešení. Pokud je matice A singulární (tedy det(A) = 0, případně že její hodnost je menší než rozměr), tak potom to má těch nekonečno řešení.

To "nekonečno řešení" vypadá tak, že si některé složky vektoru x můžeme zvolit, a ostatní už z toho vyplynou. Kolik si jich můžeme zvolit, to závisí právě na hodnosti té matice.

Pokud to tedy bude matice 3x3, a bude mít hodnost 2, tak si můžeme zvolit jen X1, a X2, X3 nám z toho už vyjdou.

Pokud bude mít hodnost 1, tak si můžeme zvolit X1 a X2.

Pokud bude mít hodnost 0 (což je tedy matice se samými nulami) tak si můžeme zvolit všechny 3 složky vektoru x.

(samozřejmě, je jedno, které X si zvolíme, jestli X1, nebo X2, nebo X3)

↑ matyskovyvytvory: Po zamyšlení jsem dospěl k názoru, že homogenní soustava má vždy řešení, tj. nemůže nastat situace, kdy soustava nemá řešení. Pokud se bude det rovnat 0, implikuje nám to LZ řádky, ergo nekonečně mnoho řešení. Je to korektní myšlenkový postup?

Případ, že homogenní sestava rovnic nebude mít řešení nemůže podle mě nastat. To by mohlo nastat v případě Ax = B, když by byl determinant A nulový.

Podle Cramerova pravidla je neznámá rovná podílu det xj/ det S
kde det S je determinant soustavy.
Je-li determinant soustavy nulový, nelze Cramerovo pravidlo použít.
Můžeme prohlásit toto: Pokud je determinant soustavy nulový a aspoň jeden determinant xj nenulový, nemá soustava řešení.
Pokud je determinant soustavy nulový a současně všechny determinanty xj nulové, má soustava nekonečně mnoho řešení.

P.S. Také platí Frobeniova věta: Soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, když se hodnost matice soustavy rovná hodnosti rozšířené matice soustavy.

Také platí: Čtvercová matice je regulární, právě když má nenulový determinant.