Matematické Fórum

Zdravim,


bol by som velmi vdacny za akukolvek pomoc s vypoctom jedneho integralu, alebo skor derivacie v integrali.

Nech [mathjax]c:I\to\mathbb{R}^2,\ c\in C^\infty,\ I\subset\mathbb{R}[/mathjax] otvoreny interval, a [mathjax]\varphi\in C_c^\infty(I,\mathbb{R})[/mathjax]. Pre [mathjax]\varepsilon >0[/mathjax] zadefinujeme normalove variacie
[mathjax]c_\varepsilon(t):=c(t)+\varepsilon\varphi(t)\nu(t)[/mathjax]
pricom je [mathjax]\nu[/mathjax] jednotkova normala na [mathjax]c[/mathjax]. Elasticka energia je zadefinova ako
[mathjax]E(c):=\int\limits_I\kappa^2 ds[/mathjax]
pricom [mathjax]\kappa[/mathjax] je krivost krivky [mathjax]c[/mathjax]. Dokaz ze
[mathjax]\frac{d}{d\varepsilon}E(c_\varepsilon)\mid_{\varepsilon=0}=\int\limits_I (2\partial^2_s\kappa+\kappa^3)\varphi\ ds[/mathjax].


Zacal by som asi tym, ze si vyjadrim
[mathjax]\dot c_\varepsilon=\dot c+\varepsilon(\dot\varphi\nu+\varphi\dot\nu)[/mathjax]
a z toho si vypocitam
[mathjax]\begin{align*}\frac{d}{d\varepsilon}|\dot c_\varepsilon|\bigr\rvert_{\varepsilon=0}&=\frac{\frac{d}{d\varepsilon}((\dot c^1+\varepsilon(\dot \varphi\nu_1+\varphi\dot\nu_1))^2+(\dot c^2+\varepsilon(\dot \varphi\nu_2+\varphi\dot\nu_2))^2)}{2|\dot c_\varepsilon|}\bigr\rvert_{\varepsilon=0}\\
&=\frac{\dot c^1(\dot \varphi\nu_1+\varphi\dot\nu_1)+\dot c^2(\dot \varphi\nu_2+\varphi\dot\nu_2)+\varepsilon(\dots)}{|\dot c_\varepsilon|}\bigr\rvert_{\varepsilon=0}\\
&=\frac{\dot c^1(\dot \varphi\nu_1+\varphi\dot\nu_1)+\dot c^2(\dot \varphi\nu_2+\varphi\dot\nu_2)}{|\dot c|}\\
&=\frac{\langle \dot c,\dot\varphi\nu+\varphi\dot\nu\rangle}{|\dot c|}\\
&=\frac{\varphi\langle \dot c,\dot\nu\rangle}{|\dot c|}.
\end{align*}[/mathjax]

Teraz k integralu elastickej energie
[mathjax]\begin{align*}
\frac{d}{d\varepsilon}E(c_\varepsilon)\mid_{\varepsilon=0}&=
\frac{d}{d\varepsilon}\int\limits_I\kappa_\varepsilon^2ds\mid_{\varepsilon =0}\\
&=\frac{d}{d\varepsilon}\int\limits_I\kappa_\varepsilon^2|\dot c_\varepsilon|\ dx\ \bigr\rvert_{\varepsilon =0}\\
&=\int\limits_I\frac{d}{d\varepsilon}\kappa_\varepsilon^2|\dot c_\varepsilon| \bigr\rvert_{\varepsilon =0}dx\\
&=2\int\limits_I|\dot c|\kappa\frac{d}{d\varepsilon}\kappa_\varepsilon\bigr\rvert_{\varepsilon =0}dx+\int\limits_I \kappa^2\frac{d}{d\varepsilon}|\dot c_\varepsilon|\bigr\rvert_{\varepsilon =0}dx.
\end{align*}[/mathjax]
S tym druhym integralom by som si vedel poradit, ten vypocitam nasledovne
[mathjax]\begin{align*}
\int\limits_I \kappa^2\frac{d}{d\varepsilon}|\dot c_\varepsilon|\bigr\rvert_{\varepsilon =0}dx&=
\int\limits_I \kappa^2\varphi\frac{\langle\dot c,\dot\nu\rangle}{|\dot c|} dx\\
&=\int\limits_I \kappa^2\varphi\langle T,\nu^\prime\rangle\ ds\\
&=-\int\limits_I \kappa^2\varphi\left\langle \frac{d}{ds}T,\nu\right\rangle+\langle T,\nu\rangle\frac{d}{ds}(\varphi\kappa^2)\ ds\\
&=-\int\limits_I \kappa^2\varphi\left\langle \frac{d}{ds}T,\nu\right\rangle\ ds\\
&=-\int\limits_I \kappa^2\varphi\langle \vec \kappa,\nu\rangle\ ds\\
&=-\int\limits_I \kappa^3\varphi\ ds.
\end{align*}[/mathjax]
Pricom [mathjax]\vec\kappa[/mathjax] je vektor krivosti a [mathjax]T[/mathjax] jednotkova tangenta krivky [mathjax]c[/mathjax]. Tym padom by to sedelo vo vysledku az na ten minus pred integralom, mozno chyba minus v zadani. Problem je moj prvy integral. Skusal som roznymi sposobmi vyratat [mathjax]\frac{d}{d\varepsilon}\kappa_\varepsilon\mid_{\varepsilon=0}[/mathjax], ale vzdy mi vyslo nieco dlhe, co mi vobec nepomohlo pri vypocte integralu.

Vedel by mi prosim niekto poradit, ako vyratat ten integral? Respektive ako vyratat [mathjax]\frac{d}{d\varepsilon}\kappa_\varepsilon\mid_{\varepsilon=0}[/mathjax]?