Matematické Fórum

Matice otočení je:    cos alfa;    -sin alfa;
                              sin alfa;     cos alfa;

úhel alfa se bere v kladném smyslu (pro směru hod. ručiček)

Zdravím,

↑ TerezaK:
správna poznámka. Matica prezentovaná kolegom ↑ Richard Tuček: platí pre pravotočivú súradnú sústavu. Ak je kladný smer osi [mathjax]y[/mathjax] v rámci roviny sústavy zvolený smerom "dole" a kladný smer osi [mathjax]x[/mathjax] ostáva v pôvodnej orientácii (smer "doprava"), tak sa jedná o ľavotočivú súradnicovú sústavu. V nej ako matica rotácie platí matica inverzná k matici, ktorú uviedol kolega.

↑ TerezaK:
Ktoré dva vzorce máš na mysli?

Je to trochu komplikovanejšie na vysvetlenie, pretože svoju rolu okrem "točivosti" súradnicových sústav hrá aj tzv. rotácia v kladnom/zápornom smere. V podstate ide zadefinovanie smeru, v akom hodnota uhla so začiatočným ramenom totožným s kladným smerom osi [mathjax]x[/mathjax] narastá do kladných hodnôt. Tiež sa tomuto termínu hovorí kladný smer rotácie.

Pre PRAVOTOČIVÚ súradnicovú sústavu je kladným smerom rotácie smer proti smeru pohybu hodinových ručičiek (CCW, z angl. counterclockwise). Napr. uhol +90° je uhol, ktorý zvierajú kladné časti oboch rovinných súradnicových osí [mathjax]x,y[/mathjax]. Uhol -90° je uhol, ktorý zviera kladná časť osi [mathjax]x[/mathjax] a záporná časť osi [mathjax]y[/mathjax]. Maticou rotácie v kladnom smere je matica
[mathjax2]\begin{pmatrix}
\cos \alpha  & -\sin \alpha  \\
\sin \alpha  & \cos \alpha
\end{pmatrix}[/mathjax2]V prípade rotácie v zápornom smere (pričom sme stále v pravotočivej sústave) tak vlastne dosádzame do matice vyššie záporný uhol ([mathjax]-\alpha[/mathjax]), ktorú následne s využitím vlastností párnosti funkcie [mathjax]\cos[/mathjax] a nepárnosti funkcie [mathjax]\sin[/mathjax] vieme upraviť na[mathjax2]\begin{pmatrix}
\cos \alpha  & \sin \alpha  \\
-\sin \alpha  & \cos \alpha
\end{pmatrix}[/mathjax2]


V ĽAVOTOČIVEJ súradnicovej sústave je situácia s kladným/záporným smerom rotácie opačná. V nej je kladným smerom rotácie smer CW. Znova bude platiť, že napr. uhol +90° je uhol, ktorý zvierajú kladné časti oboch rovinných súradnicových osí [mathjax]x,y[/mathjax] a uhol -90° je uhol, ktorý zviera kladná časť osi [mathjax]x[/mathjax] a záporná časť osi [mathjax]y[/mathjax]. Takže pre kladný smer rotácie v ľavotočivej sústave súradníc (smer CW) platí pôvodná matica[mathjax2]\begin{pmatrix}
\cos \alpha  & -\sin \alpha  \\
\sin \alpha  & \cos \alpha
\end{pmatrix}[/mathjax2]
a pre záporný smer rotácie v ľavotočivej sústave (smer CCW) matica[mathjax2]\begin{pmatrix}
\cos \alpha  & \sin \alpha  \\
-\sin \alpha  & \cos \alpha
\end{pmatrix}[/mathjax2]

A to je v súlade s rovnicami, ktoré si napísala.