Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 21. 05. 2021 18:04
- KateNeumann
- Příspěvky: 53
- Reputace: 0
homogenní diferenciální rovnice
Dobrý den. Prosím o pomoc!
[mathjax]x_{n+2}-2x_{n+1}-3x=4, n\ge 0, x_{0}=2, x_{1}=4
[/mathjax]
[mathjax]\lambda^{2}-2\lambda -3 = 4
[/mathjax] charakteristický polynom
[mathjax]\lambda _{1}=3, \lambda _{2}=-1
[/mathjax]
[mathjax]x_{n}=\alpha *3^{n}+\beta *n*(-1)^{n}+\gamma *2^{n}[/mathjax]
[mathjax](\alpha *3^{n+2}+\beta (n+2)(-1)^{n+2}+\gamma *2^{n+1})-2(\alpha *3^{n+1}+\beta (n+1)*(-1)^{n+1}+\gamma *2^{n+1})-3(\alpha *3^{n}+\beta *n*(-1)^{n}+\gamma *2^{n})=4[/mathjax]
Po spočítání mi ale nevychází správný výsledek: [mathjax]x_{n}=2*3^{n}+(-1)^{n}-1[/mathjax]
Kde mám chybu?
Offline
#2 21. 05. 2021 18:30 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Zřejmě nesmysl.
#3 21. 05. 2021 19:15 — Editoval MichalAld (21. 05. 2021 19:21)
Re: homogenní diferenciální rovnice
Já moc nechápu, jak jsi přišel na ten třetí člen, 2^n.
[mathjax]x_{n}=\alpha *3^{n}+\beta *n*(-1)^{n}+\gamma *2^{n}[/mathjax][mathjax]x_{n}=\alpha *3^{n}+\beta *n*(-1)^{n}+\gamma *2^{n}[/mathjax]
Je to rovnice 2. řádu, řešení by mělo mít jen dva členy, a charakteristický polynom má také jen dva kořeny...
Vlastně nechápu ani to n u druhého členu...
Offline
#4 21. 05. 2021 20:50 — Editoval surovec (21. 05. 2021 21:47)
Re: homogenní diferenciální rovnice
↑ KateNeumann:
Tak za prvé nejde o diferenciální, nýbrž o diferenční rovnici a za druhé u třetího členu zadání má být (téměř určitě) [mathjax]x_n[/mathjax].
U charakteristiského polynomu nemá být ta čtyřka.
A ten polynom pro pravou stranu by měla být jen konstanta (konstantní posloupnost, zde konkrétně vyjde [mathjax]\{ -1 \}_{n=1}^\infty[/mathjax]), nikoliv [mathjax]\gamma\cdot 2^n[/mathjax].
Mimochodem, všimněte si, je to můj ďábelský příspěvek na tomto fóru (viz číslo tohoto příspěvku).
Edit: Teď už ne.
Offline
#5 21. 05. 2021 21:16
- KateNeumann
- Příspěvky: 53
- Reputace: 0
Re: homogenní diferenciální rovnice
↑ surovec:
Jo, omyl. Mělo by tam být diferenční a 0 místo té 4. Jak jste ale přišel na tu posloupnost [mathjax]\{-1\}^{\infty }_{n=1}[/mathjax] ? Předem děkuju
Offline
#6 21. 05. 2021 21:46 — Editoval surovec (21. 05. 2021 21:47)
Re: homogenní diferenciální rovnice
↑ KateNeumann:
Na pravé straně je polynom nultého stupně, takže nějaké konkrétní řešení celé rovnice je také polynom nultého stupně ("netluče" se to s kořeny charakteristického polynomu), neboli jde o konstantu. To znamená, že [mathjax]x_n=x_{n+1}=x_{n+2}[/mathjax]. Pak už je to jasné, ne?
Offline
#7 22. 05. 2021 13:29
- KateNeumann
- Příspěvky: 53
- Reputace: 0
Re: homogenní diferenciální rovnice
↑ surovec:
ano, dekuju
Offline