#1 24. 05. 2021 11:31
Diferenciální rovnice
Ahoj, prosím o pomoc s tímto příkladem:
y'+2y = x-2
Nejdřív jsem vypočítala homogenní rovnici, tedy y'+2y = 0 a vyšlo mi y=c*e^-2x.
Potom tedy vypočítám varianci konstanty, kde mi vyšlo y'=c'*e^-2x + c*e^-2x * (-2) a to tedy dosadím do původní rovnice.
Tady jsem se dostala do bodu c'*e^-2x = x-2.
Jsou tyto předešlé kroky správné? Jak mám případně pokračovat v úpravě poslední rovnice?
Moc děkuju za pomoc, už jsem z toho zoufalá.
Offline
#2 24. 05. 2021 12:28
Re: Diferenciální rovnice
↑ SabFr:
Hezký den.
Nenáte proč být zoufalá. Řekl bych, že počítáte správně. Teď potřebujete vypočítat funkci c(x) z (separovatelné) diferenciální rovnice, k níž jste dospěla:
[mathjax]c'\cdot e^{-2x} = x-2[/mathjax]
a tu dosadit za c do řešení homogenní rovnice. Tím dostanete řešení zadané rovnice.
Pokud se tedy nemýlím.
Offline
#4 24. 05. 2021 12:56
Re: Diferenciální rovnice
↑ SabFr:
Nebo vynásob integračním faktorem [mathjax]\mathrm{e}^{2x}[/mathjax]:
[mathjax]y'\mathrm{e}^{2x}+2y\mathrm{e}^{2x}=(x-2)\mathrm{e}^{2x}[/mathjax]
[mathjax](y\mathrm{e}^{2x})'=(x-2)\mathrm{e}^{2x}[/mathjax]
[mathjax]\int (y\mathrm{e}^{2x})'\,\mathrm{d}x=\int (x-2)\mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x[/mathjax]
[mathjax]y\mathrm{e}^{2x}=\frac{1}{4}(2x-5)\mathrm{e}^{2x}+c[/mathjax]
[mathjax]y=\frac{1}{4}(2x-5)+\frac{c}{\mathrm{e}^{2x}}[/mathjax]
Offline