Matematické Fórum

Předpokládám, že jde o funkci sinus v komplexním oboru.
Pro komplexní číslo x je ,  řešíme tedy rovnici

,
substituce vede k rovnici , neboli
(1)  .
Tuto rovnici řešíme tak, že klademe , kde u, v, jsou reálná čísla,
dosadíme do (1)  a po sloučení porovnáme reálné a imaginární části s nulou na pravé straně -
obdržíme tak 2 rovnice s reálnými koeficienty pro reálné neznámé u,v.
Získáme tak 2 nenulová řešení rovnice (1).
Nyní se vrátíme k rovnici , z níž pomocí  vyjádříme
.
Funkce Log je takzvaná hlavní větev logaritmu komplexního čísla.

↑ Alivendes:
Ano, to je ono.
Je , .

exp = e př. exp(1) = e^1

↑ Alivendes:
Označení exp(x) je totéž co e^x  - používá se, když je na místě x složitější výraz, který by se do horního indexu "nevešel".

"Úhel", k němuž jsme dospěli, má imaginární hodnotu, takže pokud "praxí" míníš eukleidovskou geometrii, pak souvislost nevidím.

Popišme si stručně, jaké je teoretické podhoubí této problematiky.

1. Zavedení funkcí sinus a kosinus jakožto reálných funkcí reálné proměnné bylo inspirováno geometrií, jak je obecně známo.

2. Jinými "praktickými" úlohami - tentokrát z oblasti reálných funkcí -  bylo inspirováno zavedení reálné exponenciální funkce exp,
o niž lze ukázat, že ji lze vyjádřit  ve tvaru  exp(x) =  e^x , kde e je jistá jednoznačně určená konstanta.

3. Ukazuje se dále, že funkce sin, cos, exp lze v celém reálném oboru rozvinout v Maclaurenovy (Taylorovy) řady
a že tyto řady konvergují i tehdy, když do proměnné dosadíme libovolné komplexní číslo. Těmito řadami lze definice oněch funkcí rozšířit
i do komplexního oboru (a funkce pak i nabývají komplexních hodnot).

4. Dá se ukázat, že při tomto rozšíření je pro každé kompl. číslo z splněna identita  exp(iz) = cos z   + i sin z .

Odtud celkem snadno plynou výše uvedené výsledky.

↑ Alivendes:
"Úhly" imaginátních hodnot klasická geometrie nezná, tudíž je nelze ani narýsovat.
Funkce sinus (obdobně jako i další gon. fce) přiřazuje číslu x hodnotu sin x podle určitého početního vzorce obsahujícího proměnnou x,
tj. v zásadě stejně jako třeba u lineární funkce f(x) = 2x + 1,  i když mnohem složitěji (příslušný vzorec se však probírá až ve
vyšší matematice, zatímco pro účely klasické geometrie se g.f. zavádějí náhradním způsobem), přičemž souvislost onoho vzorce s geometrií
není na první pohled nijak zřejmá. To, že funkce sinus má svůj význam i v geometrii, pokud její proměnnou vnímáme jako velikost úhlu
(samozřejmě reálnou), je nutno považovat spíše za vlastnost geometrie nežli za vlastnost funkce sinus.

Jedno z kouzel matematiky vidím v tom, že dává do souvislostí věci, mezi nimiž by souvislost na první pohled nikdo nepředpokládal -
jako například mezi goniometrickými funkcemi zavedenými "náhradním způsobem" v elementární geometrii, exponenciální funkcí a
komplexními čísly.

↑ Rumburak:
aha tk tj :) hele a jeste posledni dotaz :D
dozevedel sem se tady,ze:
jaky je vzorec pro kosinus?

↑ Alivendes:
K opovědi od kolegy Kondra na Tvůj dotaz poslední nemám co dodat.

↑ romule:Přechod ze čtvrtého do prvního kvadrantu znamená otočení znaménka u sinu. Odpovídající úhel v prvním kvadrantu je opravdu 53°07''. Teď stačí přejít zpět do čtvrtého kvadrantu. Doporučuju si to kreslit na jednotkové kružnici. Mělo by se otočit znaménko, tedy výsledek je -53°07'', což je to samé, jako 306°53'' (můžeme přičíst libovolný násobek 360° a nezměnit tak sin ani cos úhlu).