Matematické Fórum

Zdravím, nedaří se mi rozlousknout úlohu 12 z Matamatiky+ 2016:
Jsou dány dvě nekonečné řady:
[mathjax]a + a^{2} + a^{3} + ...  + a^{n}[/mathjax]
[mathjax]b - b^{2} + b^{3} - ... + (-1)^{n+1}b^{n}[/mathjax]
Uvažujme takové dvojice hodnot ܽ[mathjax]a\in (0;1/3), b\in (0;1)[/mathjax], pro něž mají obě řady
stejný součet s.

12.1 Vypočtěte b ܾ, jestliže je [mathjax]a=1/6[/mathjax].
12.2 Vyjádřete b v závislosti na ܽa.
12.3 Vypočtěte součet s, jestliže je b=2a.

ad 12.1) Vyjádřil jsem si rekurentně:
[mathjax]a_{n+1}=a_{n}*a (q=a),
b_{n+1}=b_{n}*(-b) (q=-b)
[/mathjax]
, snažil jsem se vytvořit rovnici kdy s(b) = s(a), ovšem vznikají mi dvě neznámé (když a = 1/6) - n a b. Proto jsem zkoušel kvadratickou rovnici - [mathjax]](1/6) + (1/6)^{2} = b - b^{2}[/mathjax], výsledek b = [mathjax](3 - \sqrt{2})/6[/mathjax] ovšem neodpovídá zadání (správně b = 0,25).
Předem díky.