Matematické Fórum

velikan · 17. 06. 2009 15:26

ahojky. mám 3 příklady na určení typu řady a na základě toho ji vypočítat - buď určit obor konvergence, obor absolutní konvergence, nebo zda konverguje či diverguje apod. a nějak si s tím nevím rady. není tu někdo kdo by laicky vysvětlil rozdíl mezi geometrickými a aritmetickými řadami, funkčními, mocninnými řadami apod. - jak je správně rozeznat a tak... mám k dispozici skripta,ale tam je to prostě matematicky zapsané a já to v tom nevidím:-(
1) $\sum_{n=1}^{00} (-1)^(n+1) 5/n^2+n^4$ to n+1 patří celé nahoru.
2) $\sum_{k=1}^{00}k^k /k$
3) $\sum_{n=1}^{00} (-1)^(n+1) 5/(x+1)^n$ opět to n+1 patří celé nahoru..
díky moc za cenné rady a pomoc...

gadgetka

poradím jen, co se týče exponentu v Texu, cokoli vícečlenného než 1 se dává do závorek {}

(-1)^{n+1} = $(-1)^{n+1}$

velikan · 17. 06. 2009 16:58

↑ gadgetka: tak to byla rada nad zlato

lukaszh · 17. 06. 2009 18:38

↑ velikan:

Číselné rady

Vyšetrovať konvergenciu týchto radov je triviálne, takže to nemá zmysel ani riešiť. Verím, že to zvládneš aj bez našej pomoci. Stačí vedieť niektoré kritériá a hlavne pochopiť čo číselný rad je. Číselný rad je postupnosť, označme $s_m$ . Platí
$s_m=\sum_{n=1}^{m}a_n$
Ak si to rozpíšeš, zistíš, ako sa táto postupnosť tvorí:
$s_1=a_1\nls_2=a_1+a_2\nls_3=a_1+a_2+a_3\nl\qquad\vdots$
Otázkou je, či daný súčet pre $m\to\infty$ existuje. Napríklad rad
$\sum_{n=1}^{\infty}8=8+8+8+8+\cdots$
diverguje. Pretože sa tam do nekonečna sčítavajú hodnoty, ktoré iba kumulujú ten súčet. Intuitívne, rad sa teda dá sčítať len vtedy, ak jeho členy konvergujú k nule. Počnúc nejakým veľkým $m_0$ sa $s_{m_0}$ mení veľmi málo, čo spôsobuje pričitovanie veľmi malých čísel. To je tzv. nutná podmienka konvergencie, teda prvé, čo treba vyšetrovať je, či sa členy $a_j$ zmenšujú k nule.
$\boxed{\lim_{n\to\infty}a_n=0}$
Ak táto limita nie je nula, potom nemá zmysel hľadať súčet radu. Nutná podmienka však nezaručuje okamžite aj konvergenciu. Stačí uvážiť rad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$
Limita jeho sčítancov je síce nula, ale tento diverguje. Na prvý pohľad možno nepochopiteľné, ale tento súčet skutočne diverguje do + nekonečna. Divergenciu odhalíš inými kritériami. Nutnú podmienku konvergencie - NPK nespĺňa tvoj druhý rad. Preto ho môžeš bez pochybností vyhlásiť za divergentný.

Kritériá:

Porovnávacie kritérium pre rady s kladnými členmi (alebo nezápornými)

Ak $a_n\le b_n$ počnúc nejakým indexom n, potom ak konverguje rad $\sum b_n$ , potom konverguje aj rad $\sum a_n$ . Problémom však býva nájsť vhodný porovnávací rad.
Príklad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5^n}$
Tento konverguje. Stačí zvoliť za porovnávací väčší rad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{5^n}$

Limitná verzia porovnávacieho kritéria pre rady s kladnými členmi (al. nezáp.)

Ak existuje konečná $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}$ rôzna od nuly, potom rady $\sum a_n\,,\;\sum b_n$ majú rovnaký charakter.
Príklad
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{1}{n}$
Tento rad konverguje, stačí zvoliť za porovnávací rad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

Limitná verzia odmocninového kritéria pre rady s kladnými členmi (al. nezáp.)

Nech
$L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$
Ak $0\le L<1$ , potom rad $\sum a_n$ konverguje. Ak $L=1$ , týmto kritériom nevieme rozhodnúť. Inak diverguje.
Príklad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5^n}$
$L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{5^n}}=\frac{1}{5}\,<\,1\;\Rightarrow\;\rm{konverguje}$

Limitná verzia Raabeho kritéria pre rady s kladnými členmi (al. nezáp.)

$\liminf_{n\to\infty}n\cdot$\frac{a_n}{a_{n+1}}-1$=p$
Ak $p\,>\,1$ , rad konverguje. Ak $0\le p\le1$ diverguje.
Príklad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$
Zvládneš sám.

Integrálne kritérium pre rady s kladnými členmi (al. nezáp.)

Ak konverguje integrál
$\int\limits_{1}^{\infty}\varphi(\tau)\,\rm{d}\tau$
tak konverguje aj číselný rad $\sum a_n$ , kde $a_n=\varphi(n)$
Príklad
Všeobecne sa dá vyšetriť konvergencia Bertrandovho radu
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot\ln^p n}$
v závislosti od parametra p.

Množstvo iných kritérií si naštuduj v skriptách. Toto sú tie základné, s ktorými si vo väčšine vystačíš.

Rady funkcií

Rad funkcií sa od číselného radu líši na prvý pohľad. Nesčitujeme čísla, ale funkcie
$\sum_{n=1}^{\infty}x^n=x+x^2+x^3+\cdots+x^m+\cdots$
Číselný rad vznikne dosadením konkrétnej hodnoty x. Napríklad rad
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{5^n}$
môžeme chápať ako rad funkčných hodnôt
$\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot x^n$
kde $x=\frac{1}{5}$ . O funkcionálnych radoch sa tu nebudem rozpisovať, pretože treba ovládať pojem postupnosti funkcií, a to nájdeš v skriptách. Taktiež neviem, do akej mieri preberáte tieto rady, takže zaťažovať teóriou nemá zmysel. Mocninový rad je funkcionálny rad, a tu sa dáva nájsť obor konvergencie.

Marian · 18. 06. 2009 11:54

↑ velikan:

(1) Pokud chceš vědět, o jaký typ řady se jedná, není dáno, z jakého aspektu se toto má učinit. Z hlediska konvergence, z hlediska tvaru sumandu a mnoho dalších. Třídění pojmů má své zákonitosti. jinými slovy, nechápu, jakou informaci žádáš.

(2) Co to znamená vypočítat (nekonečnou) řadu? Toto mi taktéž není jasné a začínám být nervózní z položeného dotazu. Znamená to spočítat údaje o konvergenčním charakteru řadu nebo stanovit součet (v Cauchyově smyslu)?

(3) Také jsem se poprvé setkal ve tvém příspěvku s pojmem "aritmetická řada". mohl bys definovat takovou řadu?

↑ lukaszh:

Dal sis práci s odpovědí, která graficky docela ladí. Jak ale píšeš, vše je ve skriptech. Navíc mi není jasné, jak moc sis kladl nárok na přesnost toho, co výše popisuješ. Namátkou třeba:
* Číselný rad je postupnosť. Označme s_m. Posloupnosti se zančí ale jinak. Má být správně, že nekonečná řada sum(a_n) je definována pomocí posloupnosti {s_m} (indexovou množinu nebudu specifikovat), kde s_m je definováno jako s_m:=sum(a_n,n=1..m) pro každé přirozené "m".

* Další pojmy, které nepatří do matematicky laděného textu jsou třeba "zmenšujú k nule, velmi malých".

Našel bych mnoho dalšího.

Na druhou stranu jsi se snažil ale o to, abys patrně v krátkém příspěvku obsáhl to, co bychom mohli rozepsat do 100 stran vydatnějšího matematického textu, takže z tohoto hlediska chápu. Zde bych pak uvážil, zda-li má smysl na tomto fóru řešit tak obsáhlé věci. Patrně bych doporučil původnímu tazateli začít studovat precizně s pochopením literuaturu, která se zabývá danou problematikou. Problém je v tom, že to skriptum nemusí být korektní (ale také může být - to se nedá vyčíst z příspěvku). Záleží, jak moc se chce "velikan" seznámit s těmito pojmy. Začal bych ale studiem posloupností v učebnicích na středních školách (třeba série pro gymnázia). Soudím tak podle toho, že chybí základní znalosti.

gabika · 08. 06. 2010 15:09

Nevie mi niekto poradiť ako vyriešiť ulohu, v ktorej treba určit, či je daný rad konvergentny?? Ak áno, treba vypočítať jeho sučet. Dakujem

e + (e)^(1/2) +1 +(1/e^(1/2)) + ...

kaja(z_hajovny) · 08. 06. 2010 15:23

tohle tema je vyzresene, zalozil bych samostatne tema, anebo to secetl jako geometrickou radu s kvocientem e^(-1/2)

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2009 15:26

řady

#2 17. 06. 2009 16:16 — Editoval gadgetka (17. 06. 2009 16:16)

Re: řady

#3 17. 06. 2009 16:58

Re: řady

#4 17. 06. 2009 18:38

Re: řady

#5 18. 06. 2009 11:54

Re: řady

#6 08. 06. 2010 15:09

Re: řady

#7 08. 06. 2010 15:23

Re: řady

Zápatí