Matematické Fórum

Richard Tuček · 15. 06. 2021 13:42

V reálném oboru je např. x^(1/2)=x^(2/4)
V komplexním oboru to není tak úplně pravda, tam je n-tá odmocnina n- značná.
Víceznačná funkce x^(1/2) má užší sortiment než funkce x^(2/4).
Např. (-1)^(1/2) = i, - i,
Např. (-1)^(2/4)=1^(1/4) = 1; -1; i; -i;

Tedy x^(1/2) není v komplexním oboru úplně totéž, co x^(2/4).

surovec · 15. 06. 2021 14:30

↑ Richard Tuček:
A?

MichalAld · 15. 06. 2021 20:41

A já bych zrovna řekl, že [mathjax]x^{(\frac{1}{2})}[/mathjax] je přesně to samé jako [mathjax]x^{(\frac{2}{4})}[/mathjax], protože ta závorka by měla určovat prioritu...

Bati · 15. 06. 2021 22:18

↑ Richard Tuček:
$(-1)^{\frac12}=(-1)^{\frac24}$ , ale $(-1)^{\frac24}\neq1^{\frac14}$ . Delas stejnou chybu jako ve znamem "dukazu", ze -1=1.

Richard Tuček · 16. 06. 2021 12:00

↑ Bati:

Ten "důkaz" samozřejmě znám.
1=odm(1)=odm((-1)*(-1))=i*i=-1

První rovnost je v reálném oboru správná, ale v komplexním je pofiderní (tam je druhá odmocnina dvojznačná).

Mezi zlomky platí rovnost (1/2)=(2/4), ale v komplexním oboru x^(1/2) není úplně přesně totéž, co x^(2/4).

V reálném oboru je sudá odmocnina jednoznačná, pokud přijmeme konvenci, že za sudou odmocninu z kladného čísla se bere kladné číslo.
Proto také v reálném oboru platí: odm(x^2)=abs(x) (také jsem si to kdysi neuvědomil).

vanok · 16. 06. 2021 15:10

Poznamka.
Toto sa oplati kuknut: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_fallacy .

Bati · 16. 06. 2021 23:42

↑ Richard Tuček:
Nemas pravdu, resp. vidis problemy tam, kde nejsou. Protoze 1/2=2/4, tak plati $f(1/2)=f(2/4)$ pro libovolnou funkci $f$ , klidne i mnohoznacnou, to je irrelevantni. Z definice racionalnich cisel jsou 1/2 a 2/4 ty same objekty. Tolik k $(-1)^{\frac12}=(-1)^{\frac24}$ .

Co se tyce $(-1)^{\frac24}\neq1^{\frac14}$ , nebo ekvivalentne $(-1)^{\frac12}\neq1^{\frac14}$ , nejprve je jasne, ze na leve strane je nutne pouzit obecnejsi definici mocniny:
$a^x=\{|a|^x(\cos(\arg a+2k\pi)x+i\sin(\arg a+2k\pi)x),\quad k\in\mathbb{N}\}$ , kde $a\in\mathbb{C}$ , $x\in\mathbb{R}$ a $\arg$ vraci argument komplexniho cisla lezici v $[0,2\pi)$ . Tudiz $(-1)^{\frac12}$ je dvouprvkova mnozina. Ale na prave strane $1^{\frac14}$ je bud $1$ (pokud pouzijeme realnou odmocninu), anebo ctyrprkova mnozina, pouzijeme-li definici komplexni. Takze $(-1)^{\frac12}$ se nemuze rovnat $1^{\frac14}$ uz jen proto, ze to jsou neporovnatelne objekty. V reci programovani to odpovida tomu, ze nesedi typy (a neexistuje zadne rozumne implicitni pretypovani).

Jinak debaty tohoto typu podle me nejsou moc uzitecne, protoze v kazdem serioznim textu by melo byt dopredu deklarovano (anebo to musi byt jasne z kontextu), co se mysli zapisem $1^{\frac14}$ apod.

Ahoj ↑ vanok:, na te wiki v te casti "Square roots of negative numbers" to maji taky spatne (uz jen $\sqrt{-1}=i$ ), takze to necist.

vanok · 17. 06. 2021 06:04

Ahoj ↑ Bati:
Len mala poznamka..
Uz len titul toho odkazu znamena, ze ide « pseudo » dokazy a iste autory chceli tam dat ilustraciu spatnych dokaov.
Mozno mohli na to viac prizvukovat…

Richard Tuček · 17. 06. 2021 15:40

Pozor:

Také rovnosti: i^2=-1; i=odm(-1); nejsou úplně ekvivalentní, neboť druhá odmocnina je dvojznačná.

Jistý docent (machr v analýze v komplexním oboru) napsal knihu Analýza v komplexním oboru, je to tlustá kniha (autor I. Černý)
Pravil: "nesmíme mísit metody reálné a komplexní analýzy"

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2021 13:42

mocniny v komplexním oboru

#2 15. 06. 2021 14:30

Re: mocniny v komplexním oboru

#3 15. 06. 2021 20:41

Re: mocniny v komplexním oboru

#4 15. 06. 2021 22:18

Re: mocniny v komplexním oboru

#5 16. 06. 2021 12:00

Re: mocniny v komplexním oboru

#6 16. 06. 2021 15:10

Re: mocniny v komplexním oboru

#7 16. 06. 2021 23:42

Re: mocniny v komplexním oboru

#8 17. 06. 2021 06:04

Re: mocniny v komplexním oboru

#9 17. 06. 2021 15:40

Re: mocniny v komplexním oboru

Zápatí