Matematické Fórum

↑ Teny37:

Je-li [mathjax](H, \cdot )[/mathjax] podgrupou grupy [mathjax](G, \cdot )[/mathjax], platí:
1. [mathjax]H \subseteq G[/mathjax]
2. [mathjax](H, \cdot )[/mathjax] je sama o sobě grupou

Pro [mathjax]H = \{(x, y)\in \mathbb{R}^2, y=x^2\}[/mathjax] (tj. množina všech dvojic reálných čísel takových, že druhé číslo ve dvojici je druhou mocninou čísla prvního) ověříme dvě podmínky výše:
1. Je jasně vidět, že [mathjax]H \subset G[/mathjax], protože [mathjax]H[/mathjax] je část [mathjax]G[/mathjax], která splňuje určitou podmínku.
2. Zbývá ověřit, jestli [mathjax](H, + )[/mathjax] je grupou. Grupa je struktura, která je uzavřená, asociativní, má neutrální prvek a ke každému jejímu prvku obsahuje i prvek k němu inverzní. Struktura [mathjax](H, + )[/mathjax] selhává hned u první vlastnosti - uzavřenosti. Stačí nalézt protipříklad - dva prvky z [mathjax]H[/mathjax], jejichž součet v [mathjax]H[/mathjax] neleží. Například [mathjax](2, 4) + (3, 9) = (5, 13) \notin H[/mathjax].

Struktura [mathjax](H, +)[/mathjax] tedy není podgrupou grupy [mathjax](G, +)[/mathjax].

↑ Teny37:

Ne, protože ani [mathjax](2, 4)[/mathjax], ani [mathjax](3, 9)[/mathjax] do [mathjax]H[/mathjax] už nepatří.

Uzavřenost operace na množině znamená, že po provedení této operace s libovolnými dvěma prvky z dané množiny obdržíme opět prvek z této množiny. Například přirozená čísla jsou uzavřená vůči násobení, zatímco množina záporných čísel není.

↑ Teny37:

1. To, že tu uzavřenost ověříš pro dva prvky, ještě neznamená, že to platí pro všechny.

2. Souhlasím s definicí asociativity, ale nějak nechápu tvé ověření. Chceš ověřit, že součet dvojic reálných čísel takových, že druhé číslo ve dvojici je -2-násobkem toho prvního, je asociativní. Jeden prvek je ta celá dvojice.

Nejdřív zkusíme opravit důkaz uzavřenosti. Mějme dvě libovolné dvojice reálných čísel splňující podmínku. Označme je třeba [mathjax](x, -2x)[/mathjax] a [mathjax](y, -2y)[/mathjax], kde [mathjax]x, y\in \mathbb{R}[/mathjax]. Zkus dokázat, že jejich součet opět splňuje podmínku, že druhé číslo je -2-násobkem prvního.