Matematické Fórum

Pro objem
[mathjax]V=\pi \int_{a}^{b}f^{2}(x)dx[/mathjax]

Pro obsah
[mathjax]S=2\pi \int_{a}^{b}|f(x)|\sqrt{1+(f'(x))^{2}}dx[/mathjax]

Například do toho wolframu nebo někde nelze příklad vložit ? Nevím co s tím a chtěl bych vidět nějaký postup..

↑ Samsung21:
Vy ste na prednáške/cvičeniach nepreberali integrály základných typov elementárnych funkcií?

↑ Samsung21:
No ak tvoja odpoveď v príspevku #4 je objem telesa definovaného v 1., tak potom predpokladáš správne, je to chybný výsledok - objem (a v konečnom dôsledku ani povrch) telesa nemôže vyjsť záporný.

Ak ste sa už učili s využitím Riemannovej definície integrálu, že obsah plochy ohraničenej na intervale [mathjax]\langle a;b\rangle[/mathjax] krivkami grafov spojitých funkcií [mathjax]f(x),g(x);f(x)\le g(x)[/mathjax] jednej reálnej premennej je určený integrálom [mathjax]\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x-\int_{a}^{b}g(x)\mathrm{d}x[/mathjax], tak potom pre prípad objemu s využitím tebou uvedeného vzťahu platí [mathjax]V=\pi \int_{a}^{b}(f^{2}(x)-g^{2}(x))\mathrm{d}x=\pi \int_{a}^{b}f^{2}(x)\mathrm{d}x-\pi \int_{a}^{b}g^{2}(x)\mathrm{d}x[/mathjax]. Pre obsah sa odvodí analogický vzťah.

↑ Samsung21:
Samozrejme, že je to spočítané zle, lebo ty si počítal iba holý integrál [mathjax]\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x[/mathjax], kde [mathjax]f(x)=x^{2}+1[/mathjax] a [mathjax]g(x)=-x+3[/mathjax] a to je predpis pre výpočet plochy v grafe ohraničenej danými krivkami [mathjax]f(x),g(x)[/mathjax], ako som už spomínal. Navyše ako si môžeš všimnúť, na uvedenom intervale [mathjax]x\in \langle-2;1\rangle[/mathjax] platí [mathjax]x^{2}+1\le -x+3[/mathjax], takže vzhľadom na zavedené značenie si pre korektný výpočet plochy (aby vyšla ako kladné číslo) mal počítať integrál [mathjax]\int_{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm{d}x[/mathjax].

Avšak nič to nemení na tom, že uvedené hodnoty [mathjax]\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\mathrm{d}x[/mathjax] resp. [mathjax]\int_{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm{d}x[/mathjax] nemajú nič spoločné ani s hodnotami objemu, ani s hodnotami obsahu uvedených telies.



OK, začneme príkladom č.1, teda objemom telesa ktoré vznikne rotáciou uvedených kriviek okolo osi [mathjax]x[/mathjax].
Už sme si povedali, že objem rotačného telesa ohraničeného na intervale [mathjax]\langle a;b\rangle[/mathjax] krivkami grafov spojitých funkcií [mathjax]f(x),g(x);f(x)\ge g(x)[/mathjax] je [mathjax]V=\pi \int_{a}^{b}(f^{2}(x)-g^{2}(x))\mathrm{d}x[/mathjax].
V zadaní príkladu č.1 máme dve funkcie [mathjax]y=e^{x}[/mathjax] a [mathjax]y=e^{-x}[/mathjax]. [mathjax]x=1[/mathjax] je len priamka rovnobežná s osou [mathjax]y[/mathjax] určujúca hornú hranicu [mathjax]b[/mathjax] integrálu.
Nájsť dolnú hranicu [mathjax]a[/mathjax], v našom prípade takú hodnotu [mathjax]x \in \mathbb{R}[/mathjax] v ktorej obe funkcie [mathjax]f(x),g(x)[/mathjax] nadobúdajú rovnakú funkčnú hodnotu by nemal byť problém.
Dokážeš určiť, ktorá z funkcií predstavuje [mathjax]f(x)[/mathjax] a ktorá [mathjax]g(x)[/mathjax], ak ma uvedenom intervale [mathjax]\langle a;b\rangle[/mathjax] na ktorom budeme integrovať, má platiť [mathjax]f(x)\ge g(x)[/mathjax]?

↑ Samsung21:
Díky za upozornenie, už som to opravil...to vieš, neskoro v noci človek ľahko robí chyby z nepozornosti.

Čo sa týka rozdielu medzi [mathjax]f(x)>g(x)[/mathjax] a [mathjax]f(x)\ge g(x)[/mathjax], vo všeobecnosti je lepšie používať druhú nerovnosť, ktorá nám hovorí že na intervale na ktorom integrujeme sa krivky daných funkcií môžu dotýkať. Príkladom buď integrál čo si počítal v príspevku #8, kde si predpokladal rovnosť [mathjax]f(x)=g(x)[/mathjax] v okrajových bodoch intervalu.

Ale späť k našej úlohe. Dokážeš určiť, ktorá z funkcií [mathjax]y=e^{x},y=e^{-x}[/mathjax] je [mathjax]f(x)[/mathjax] a ktorá [mathjax]g(x)[/mathjax], aby na intervale na ktorom sa bude integrovať platilo [mathjax]f(x)\ge g(x)[/mathjax]?

↑ Samsung21:
OK, dokážeš teraz dosadiť aj do uvedených integrálov?

EDIT: Malá nápoveda - [mathjax]f^{2}(x)[/mathjax] je len iná forma zápisu [mathjax](f(x))^{2}[/mathjax].

OK, vidím že si sa ujal rozsiahlejšie využívať zápisy rovníc a vzťahov v LaTeXu. Sú tam síce chyby, ale vzhľadom na to, že si predtým s LaTeXom zrejme nikdy nepracoval, je to slušný pokus.

Primitívne funkcie si spočítal dobre. Tým dvom posledným rovnostiam nerozumiem - načo separovať dosadzovanie horných a dolných hraníc, keď je to možné urobiť naraz?

Zostaňme teda pri zápise [mathjax]V=\pi \cdot [\frac{1}{2}e^{2x}+\frac{1}{2}e^{-2x}]^{^{1}}_{_{0}}[/mathjax], takže stačí len dosadiť hranice a vypočítať (nejaké vzorové príklady na určité integrály ste si určite ukazovali buď na stretnutiach, alebo ste to mali ukázané v prednáškových materiáloch, takže predpokladám že vieš, ako na to).

↑ Samsung21:
Správne. Prípadne ak ste už preberali hyperbolické funkcie, tak sa ten posledný výraz dá ešte ďalej upraviť.

Tak teraz som trochu zmätený. U toho príkladu č. 2 sa má počítať obsah rovinnej plochy ohraničený v súradnej sústave zadanými krivkami, alebo obsah/povrch rotačnej plochy, teda povrch rotačného telesa ktoré vznikne rotáciou zadaných kriviek okolo osi [mathjax]x[/mathjax]?

↑ Samsung21:
V poriadku. Ja som si totiž myslel, že máte počítať povrch rotačného telesa, ktoré vznikne rotáciou zadaných kriviek okolo osi [mathjax]x[/mathjax] aj vzhľadom na to, že si v príspevku #3 uviedol príslušný vzťah pre výpočet.

V tom prípade postupuj tak ako si pôvodne postupoval v príspevku #8 s prihliadnutím na moju poznámku v prvom odstavci príspevku #9.

↑ Samsung21:

Jak vidíš z obrázku v příspěvku #8, funkce [mathjax]y=-x+3[/mathjax] je nad funkcí [mathjax]y=x^2 + 1[/mathjax], a plocha pod ní je na daném intervalu tedy větší. Chceš spočítat rozdíl větší a menší plochy, tj. [mathjax]\int_{-2}^{1}(-x+3)dx - \int_{-2}^{1}(x^2+1)dx[/mathjax].