Matematické Fórum

f = {(x,y) ∈ Q^2 | y = (x−3) / 2 }, tedy

f(a)=(a-3)/2
f(b)=(b-3)/2

kolik je f(a).f(b)?   ( "." je normální násobení na Q)

a pokud je f injektivní a surjektivní, existuje $f^{-1}$ (můžeme vyjádřit x pomocí y)

Jak vypadá $f^{-1}$ ?

izomorfismus:

(Q,*) ----------> (Q,.)
             $f$
   |                       |
   |                       |
   |                       |
   V                      V
             $f^{-1}$
a*b  <---------- f(a).f(b)

Grupoid (Q,·) bude asi množina racionálních čísel vzhledem k násobení, což je grupoid.
Máme ověřit, že zobrazení definované předpisem: f(x)=(x-3)/2 je izomorfismus grupoidů.
Je nutno ověřit, že platí: f(a*b)=f(a).f(b) (homomorfismus)
f(a*b)=(((ab − 3a − 3b + 15)/2)-3)/2=ab/4 - 3a/4 - 3b/4 + 15/4 - 3/2=
  =ab/4 - 3a/4 - 3b/4 + 9/4 = ((a-3)/2).((b-3)/2)

Dále je nutno ověřit, že je prosté, tj. že platí:  f(a)=f(b)=>a=b
Dále že je na množinu, tj. každý prvek je obrazem něčeho.