Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 26. 06. 2021 22:01
Taylorova ř.
Ahoj, pokouším se dat tuto funkci y=sinh(x) do tayl. ř. Kde mám využít vztah[mathjax]Sinh (x) =\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) [/mathjax]
Vim, že existuje jistý vzorec pro rychle převádění toho e^x, proto jsem se ho snažila uplatnit, jenomže mi pak vyjdou dvě řady. Zkousela jsem i vytýkat, ale taky se mi nepodarilo to e ^x osamostatnit. Diky za rady.
Offline
#4 26. 06. 2021 23:35 — Editoval Ferdish (27. 06. 2021 17:22)
- Ferdish
- Zablokovaný
- Příspěvky: 4173
- Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
- Pozice: vedecký pracovník
- Reputace: 81
Re: Taylorova ř.
V tom prípade si najprv rozlož do Maclaurinovho radu (tak sa nazýva Taylorov rad na okolí bodu [mathjax]x_0=0[/mathjax]) obe pomocné funkcie [mathjax]\mathrm{e}^{x}[/mathjax] a [mathjax]\mathrm{e}^{-x}[/mathjax].
Maclaurinove rady (MR) vybraných elementárnych funkcií (medzi ktoré patrí aj [mathjax]\mathrm{e}^{x}[/mathjax]) sú dokonca tabuľková záležitosť, takže ak ho nemusíš explicitne odvodiť tak to využi.
Finta: členy MR funkcie [mathjax]\mathrm{e}^{-x}[/mathjax] sú totožné ako členy MR funkcie [mathjax]\mathrm{e}^{x}[/mathjax], akurát sa v danom rade striedajú znamienka plus a mínus...
Offline
#5 27. 06. 2021 17:05
- Richard Tuček
- Místo: Liberec
- Příspěvky: 1055
- Reputace: 18
- Web
Re: Taylorova ř.
Ještě napovím:
Rozvoje funkce (v okolí nuly) sin x a sinh x jsou "skoro stejné", jen u sin x se střídají znaménka, u sinhx se znaménka nestřídají.
Podobně jako u funkcí cos x a cosh x
Rozvoje funkcí sinh x a cosh x získáme tak, že z rozvoje funkce e^x (který je známý), vybereme jen členy s lichým exponentem, event. se sudým exponentem.
Offline
#9 27. 06. 2021 22:22
- Ferdish
- Zablokovaný
- Příspěvky: 4173
- Škola: PF UPJŠ (2013), ÚEF SAV (2017)
- Pozice: vedecký pracovník
- Reputace: 81
Re: Taylorova ř.
↑ Anna12:
[mathjax]\Sigma 1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+.... [/mathjax] je dobre (až na ten symbol sumy - pri zápise radu ako súčet jeho prvých pár členov sa tento symbol nepíše).
Ak však sumuješ cez [mathjax]n\in \mathbb{N}_0[/mathjax], tak pre tretí člen ([mathjax]n=2[/mathjax]) podľa tvojho predpisu vychádza [mathjax]\frac{x^{2\cdot 2}}{(2+1)!}=\frac{x^{4}}{3!}=\frac{x^{4}}{6}[/mathjax], ale v súčte prvých pár vypísaných členov máš tretí člen [mathjax]\frac{x^{4}}{24}[/mathjax].
Všimni si "podobnosť" hodnoty mocniny a hodnoty menovateľa [mathjax]n[/mathjax]-tých členov v sumačných predpisoch MR pre funkciu [mathjax]\mathrm{e}^{x}[/mathjax] aj [mathjax]\mathrm{e}^{-x}[/mathjax].
V tvojom novom rade sa ti mocnina [mathjax]n[/mathjax]-tého člena zmení z hodnoty [mathjax]n[/mathjax] na hodnotu [mathjax]2n[/mathjax]. S ohľadom na horeuvedenú podobnosť, ako sa zmení hodnota menovateľa tohto člena?
Offline