Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Střední škola
- » Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 16. 07. 2021 16:38
Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli
Dobrý den,
mám tu rovnici, u které nejsem schopen dospět k správnému řešení. Vypadá takto:
[mathjax]x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x[/mathjax], kde [mathjax]x\in \mathbb{R}[/mathjax]
Můj postup:
[mathjax]x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x[/mathjax]
[mathjax]x^{\sqrt x}=x^{\frac 12 x}[/mathjax]
[mathjax]\sqrt x=\frac 12 x[/mathjax]
[mathjax]x^2-4x=0[/mathjax] čili [mathjax]x[/mathjax] může být [mathjax]4[/mathjax] nebo [mathjax]0[/mathjax], ale [mathjax]0[/mathjax] to být nemůže, protože [mathjax]0^0[/mathjax] není definováno.
Zcela zjevně může být ale kořenem také [mathjax]1[/mathjax], ta mi ale z rovnice neleze, takže kde mám chybu?
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Prvočíslo)
#2 16. 07. 2021 17:31
- check_drummer
- Příspěvky: 5513
- Reputace: 106
Re: Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli
Ahoj. Chybu děláš tam, kde se zbavuješ mocněnce, tím přicházíš o kořeny. Protože ta rovnost může platit i když se exponenty nerovnají.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 16. 07. 2021 19:19 — Editoval osman (16. 07. 2021 19:26)
Re: Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli
Zdravím,
pro výrazy s neznámou v mocněnci i mocniteli bývá užitečné využít vztahu
[mathjax]x=e^{log (x)}[/mathjax] (kde log je přirozený logaritmus)
Místo rovnice [mathjax]x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x[/mathjax]
pak získáme mnohem lépe uchopitelné výjádření
[mathjax]e^{\sqrt{x}.logx}=e^{x.log\sqrt{x}}[/mathjax]
a nehrozí ztráta kořenů při výpočtu.
Také je dobré si hned na začátku upřesnit podmínky řešení. (Jistě nemůže být [mathjax]x\in \mathbb{R}[/mathjax])
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline
#4 17. 07. 2021 15:04
Re: Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli
Ale můžu to vypočítat třeba i takto, ne?
[mathjax]x^{\sqrt x}=(\sqrt x)^x[/mathjax]
[mathjax]\log{x^{\sqrt x}}=\log{x^{\frac12 x}}[/mathjax]
[mathjax]\sqrt x \, \cdot \, \log x=\frac 12x \, \cdot \, \log x[/mathjax]
[mathjax]\log x \cdot (\sqrt x \,-\frac 12 x)=0[/mathjax] čili [mathjax]\log x =0[/mathjax], takže [mathjax]x=1[/mathjax], [mathjax]\sqrt x \, -\frac 12 x =0[/mathjax] čili [mathjax]x=0[/mathjax] nebo [mathjax]x=4[/mathjax].
Podmínka je [mathjax]x>0[/mathjax], takže kořeny jsou [mathjax]1[/mathjax] a [mathjax]4[/mathjax].
Offline
#5 17. 07. 2021 22:53
Re: Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli
↑ Prvočíslo:
Jasně, a je to naprosto správně, zlogaritmovat obě strany rovnice je v tomto případě jednodušší a je to korektní.
[mathjax]x=e^{log (x)}[/mathjax] se může hodit při úpravách obecných výrazů, protože nemění hodnotu x (výraz nemůžeme při úpravě jen tak zlogaritmovat).
Hlavní je zápal, talent se dostaví!
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Střední škola
- » Rovnice s neznámou v mocněnci i mocniteli (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)