Matematické Fórum

Eratosthenes · 16. 08. 2021 13:36

Zdravím zájemce o téma, které navazuje na (asi předčasně) uzavřené

https://forum.matweb.cz/post.php?tid=111375

↑↑ Richard Tuček:

$[[a;b];c] =[a;[b;c]] = [a;b;c]]$

ano, tak se to dělá intuitivně na střední škole. Ale intuitivní přístup k teorii množin vede k paradoxům, které se na střední škole buď úplně zamlčí, anebo se zmíní s tím, že na SŠ se na ně nenarazí.

V korektní matematické definici uspořádané dvojice se musíš obejít bez "první" a "druhé" složky. Teorie množin - alespoň její základy - musejí být vybudovány před číselnými obory. Nejdřív aspoň něco z množin a až potom můžeš mít nějaká čísla. Takže v okamžiku, kdy definuji uspořádanou dvojici, nevím ani to, co je jednička či dvojka, takže ani to, co je první nebo druhé (natož třetí :-)

Dnes nejpoužívanější definice uspořádané dvojice je

$[a;b] =\{\{a\} ; \{a;b\}\}$

Když to dosadíš do $[[a;b];c]$ a $[a;[b;c]]$ , zjistíš, že $[[a;b];c] =[a;[b;c]]$ ani zdaleka není pravda. A co je $[a;b;c]]$ bez další definice nevíš vůbec.

↑↑ vanok:

díky za odkaz. Pročetl jsem a zjistil, že ve snaze o své řešení jsem víceméně jen objevoval Ameriku, protože prakticky všechno, co tam je, jsem zkoušel :-)

↑↑ vanok:

↑↑ check_drummer:

Napadlo mě toto:

[mathjax][a;b] =\{\{a\} ; \{a;b\}\}[/mathjax]

[mathjax][a;b;c] =[a;b] \cup \{\{a;b;c\}\}[/mathjax]

Podobně usp. k-tice rekurzí

Pak to samozřejmě není asociativní, dokonce je

[mathjax]A\times A^n \not = A\times A^n \not = A^{n+1}[/mathjax]

ale zatím mě nenapadá nic, čemu by to vadilo ...

Eratosthenes · 16. 08. 2021 13:52

↑ Eratosthenes:

.... mělo být samořejmě [mathjax]A\times A^n \not = A^n\times A \not = A^{n+1}[/mathjax] :-)

Prozatím jsem nepřišel na to, proč se ten součin "znásilňuje" kvůli tomu, aby tam mohly být rovnosti. K čemu dál někde jsou? Jak říkám - prozatím netuším...

vanok · 16. 08. 2021 15:22

Ahoj ↑ Eratosthenes:,

Tu mas dalsie citania https://math.stackexchange.com/question … 38319?lq=1

Tento problem je vyrieseny v kazdej ( dobrej) knihe z teorii mnozin.
( V podstate ide o to ze rozne zapisy ktore si vykonstruhoval su homomorficke …. a tak ich rovnost je via ten homomorfismus (cf. teoria factorizacie …. po fr. sa pouziva slovo quotient) a tak su v tej istej « triede » .

No mas pravdu, ze ide o tzv « abus de langage » , co urobi citarelnejsi taky zapis, ked vies o co ide, a ked nahodou si natrafil na nejaky text bez toho aby to bolo jasne povedane, tak to nie je ferove.

Eratosthenes · 16. 08. 2021 17:33

↑ vanok:

>> Tento problem je vyrieseny v kazdej ( dobrej) knihe z teorii mnozin.

No právě. Já jsem na žádnou knížku, která by podle mě byla dobrá, bohužel zatím nenarazil...

Ekvivalence mezi množinou všech [mathjax][a;[b;c]][/mathjax] a všech [mathjax][[a;b];c][/mathjax] včetně mého [mathjax][a;b]\cup \{\{a;b;c\}\}[/mathjax] je celkem jasná. Problém ale vidím v tom, když se to uvádí hned u definice kart. součinu a dokonce se tím argumentuje v důkazu té asociativity. Ekvivalence jakožto zobrazení je totiž podmnožina kart. součinu a tak je text okamžitě v logickém kruhu. Jedním takovým jsem si podložil viklající se skříň.

Nemám žádný problém s větami typu "Okruh všech celých čísel je až na izomorfismus jediný", protože tam už ten izomorfismus mám (nebo aspoň můžu mít). Ale nemůžu říct, že [mathjax][a;[b;c]][/mathjax] a [mathjax][[a;b];c][/mathjax] jsou ekvivalentní, protože v tomto momentě nevím, co to je. Tady žádnou ekvivalenci ještě nemám a mít ani nemůžu.

Úplným šílenstvím je definovat uspořádanou dvojici, a pak hned n-tici indukcí, tj. opět v momentě, kdy tu indukci v žádném případě nemáš (další, co skončil pod druhou skříní).

Proto jsem chtěl nějakou trojici (popř čtveřici), která by neměla vnitřní závorky a asociativitu tím pádem řešit nemusela. Aspoň do té doby, než se přes relace a zobrazení dopídím k ekvivalenci mezi množinami.

Takže díky za Tvoje odkazy - utvrdily mě v tom, že nic lepšího asi nevymyslím :-)

Matematické Fórum

#1 16. 08. 2021 13:36

Asociativita kart. součinu - ještě jednou

#2 16. 08. 2021 13:52

Re: Asociativita kart. součinu - ještě jednou

#3 16. 08. 2021 15:22

Re: Asociativita kart. součinu - ještě jednou

#4 16. 08. 2021 17:33

Re: Asociativita kart. součinu - ještě jednou

Zápatí